第一章部分习题解答

1.3 设随机变量Y与X满足如下函数关系Y=g(X)=sin(X+θ)，其中θ是已知常量，求

Y的概率密度。 

解：根据函数Y=sin(X+θ)的值域，显然|Y|≤1成立，因此，当|y|>1时，有fY(y)=0 当|y|≤1时，g(y)为多值函数，包括： 

1

x2n=arcsiny θ+2nπ,x2n+1= arcsiny θ+(2n+1)π,n=0,±1,±2,… 

根据随机变量函数的分布，得

+∞

fY(y)====

n= ∞

∑

fX(xn)

dxndy

d(arcsiny θ+nπ)d( arcsiny θ+nπ)

+∑fX( arcsiny θ+nπ)

dydynodd

+

neven

∑

fX(arcsiny θ+nπ)fX(arcsiny θ+nπneven

∑

nodd

∑

fX( arcsiny θ+nπ= ∞

∑

+∞

fX(xn)

综合以上结果，得

 fY(y)=≤1>1

arcsiny θ+nπ,neven

，其中xn=  

arcsiny θ+nπ,nodd

1.4 设有随机变量X1和X2，求Y=X1X2和Z=X1/X2的概率密度。 解法一： 

思路：通过引入辅助变量，分别求出Y和Z的概率密度。 

(1) 求Y的概率密度 设Y1=X1,Y2=Y=X1X2 

x1=y1

对应的反函数为单值函数 ，J=

x=y/y x2 221

y1

x1 y1

x1 y2 x2 y2

1=y 2y12

1 1= y1

y1

根据多维随机变量函数的分布，得 

1

fY1Y2(y1,y2)=fX1X2(x1,x2)J=fX1X2(y1,y2/y1) 

y1

由联合概率分布积分得到边缘概率分布 

+∞+∞1

fY2(y2)=∫fY1Y2(y1,y2)dy1=∫fX1X2(y1,y2/y1)dy1 

∞ ∞y1将上式中的积分变量y1替换为u，得 

fY(y)=∫

+∞

∞

1

fX1X2(u,y/u)du u

(2) 求Z的概率密度 

设Z1=X1,Z2=Z=X1/X2 

x1=z1

对应的反函数为单值函数 ，J=

=xz/z x2 212

z1

x1 z1

x1 z2

1

=1 x2

z2

z2

z z1= 12 2z2z2

根据多维随机变量函数的分布，得 

z

fZ1Z2(z1,z2)=fX1X2(x1,x2)J=1fX1X2(z1,z1/z2) 2

z2

由联合概率分布积分得到边缘概率分布 

+∞+∞z1

fZ2(z2)=∫fZ1Z2(z1,z2)dz1=∫fX1X2(z1,z1/z2)dz1 

∞ ∞z2

2将上式中的积分变量z1替换为v，得 fZ(z)=∫

+∞

∞

v

fXX(v,v/z)dv z212

令u=v，即v=zu，还可以进一步写为 

z（注意：需根据z的取值进行讨论） 1) z≥0时，fZ(z)=

∫2) z<0时，fZ(z)=

∫

+∞ ∞ ∞

+∞zu

f(zu,u)zdu=ufX1X2(zu,u)du X1X22∫ ∞z

∞ zu+∞zuf(zu,u)zdu=f(zu,u)zdu=XX∫+∞z2X1X2∫ ∞ufX1X2(zu,u)du z212

+∞

综合1)和2)，得fZ(z)=∫解法二： 

+∞

∞

ufX1X2(zu,u)du 

思路：同时求出Y和Z的概率密度。 

y=

x1x2

x1= x1=需要注意到 的反函数为多值函数：

z=x

/x12 x2= x2=机变量函数的分布的求解方法相同，需要考虑每个反函数对概率密度的贡献。 

另外，还需要注意到由于Y和Z必定同号，因此二维随机变量(Y,Z)的取值位于第一和第三象限。讨论如下： (1) 当(

Y,Z)

位于第一象限时  x1

x1=由 J= y 1

x2

x2= y

x1

z= x2 z 

x1

x1=类似的，由 J= y 2

x2

x2= y

x1

z= x2

z根据多维随机变量函数的分布，得

 fYZ(y,z)=fX1X2(x1,x2)J1+fX1X2(x1,x2)J2

11 +fX1X2( 先不要着急去掉绝对值，需讨论z的取值范围 2z2z11由于(Y,Z)位于第一象限，z大于0 =fX1X2+fX1X2(2z2z

接下来，由联合概率分布积分分别得到Y和Z的边缘概率分布：

 =fX1X2

fY(y)=∫

+∞

fX1X2+∞11dz+∫fX1X2(dz 

02z2z

注意积分下限 

对于上式等号右边的第一项令u即z=

u2/y，对第二项令v=z=v2/y，得 fY(y)=∫=∫=∫=∫

+∞0+∞

∞yy2uyy2v

)2du+∫fX1X2(v, )2dv

00u2uyv2vy

∞y1y1

fX1X2(u,du+∫fX1X2(v,)dv

0 uuvv0y1y1

fX1X2(u,du+∫fX1X2(v,dv

∞uuvv+∞

fX1X2(u,

0+∞

∞

y1

fX1X2(u,du(y>0)

uu

+∞0

fZ(z)=∫

fX1X2+∞11dy+∫fX1X2(dy 

02z2z

注意积分下限 

对于上式等号右边的第一项令u=y=

zu2，对第二项令v=即y=zv2，得 fZ(z)=∫=∫=∫=∫=∫

+∞0+∞

∞11

2zudu+∫fX1X2( zv,v)2zvdv

002z2z

∞11

fX1X2(zu,u)2zudu+∫fX1X2( zv,v)2zvdv

02z2z+∞

fX1X2(zu,u)

0+∞

fX1X2(zu,u)udu+∫

∞

00

fX1X2(zv,v)vdvfX1X2(zv,v)vdv

0+∞

fX1X2(zu,u)udu+∫

∞

∞

fX1X2(zu,u)udu(z>0)

(2) 当(Y,Z)位于第三象限时，同理可得 fY(y)=∫

+∞

∞

y1

fX1X2(u,du(y<0),

uuy1

fX1X2(u,du,

uu

fZ(z)=∫

+∞

∞

fX1X2(zu,u)udu(z<0) 

综上，得 fY(y)=∫

+∞ ∞

fZ(z)=∫

+∞

∞

fX1X2(zu,u)udu