概率论与数理统计公式 小抄必备

概率论和数理统计公式集锦

二、随机变量及其分布

1、分布函数

P(X xkF(x) P(X x) ) xk x

,P(a X b) F(b) F(a)

x

f(t)dt

离散型：P(Y yi) pj,i 1,2,

，

g(xj) yi

连续型：①分布函数法，②公式法fY(y) fX(h(y)) h (y)(x h(y)单调)三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量及其分布

分布律：P(X xi,Y yj) pij,i,j 1,2,

分布函数F(X,Y)

x p

ij

i xyi y

边缘分布律：pi P(X xi) pij

p j P(Y yj) pij

j

i

条件分布律：P(X xiY yj)

pijijp,i 1,2,

，P(Y yjX xi)

p j

p,j 1,2,i

2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：F(x,y)

x

y

f(u,v)dudv

性质：F( , ) 1, 2F(x,y)

x y f(x,y),P((x,y) G) f(x,y)dxdy

G

②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：F

X(x) x

f(u,v)dvdu 密度函数：fX(x)

f(x,v)dv F

Y

(y) y

f(u,v)dudv fY

(y)

f(u,y)du

③条件概率密度

f,y)YX(yx)

f(xf), y ，ff(x,y)

XY(xy) f, x X(xY(y)

3、随机变量的独立性

随机变量X、Y相互独立 F(x,y) FX(x)FY(y)， 离散型：pij pi.p.j ，连续型：f(x,y) fX(x)fY(y) 4、二维随机变量和函数的分布

离散型：P(Z zk) P(X xi,Y yj)

xi yj zk

连续型：fZ(z)

f(x,z x)dx

f(z y,y)dy

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

①定义：离散型E(X) x

k

pk，连续型E(X)

k 1

xf(x)dx

②性质：E(C) C,E[E(X)] E(X)，E(CX) CE(X)，E(X Y) E(X) E(Y) E(aX b) aE(X) b ，当X、Y相互独立时：E(XY) E(X)E(Y) 2、方差

①定义：D(X) E[(X E(X))2] E(X2) E2(X)

②性质：D(C) 0，D(aX b) a2D(X

)，D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) 当X、Y相互独立时：D(X Y) D(X) D(Y) 3、协方差与相关系数

①协方差：Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)，当X、Y相互独立时：Cov(X,Y) 0 ②相关系数： XY

，当X、Y相互独立时： 0(X,Y不相关)

XY

③协方差和相关系数的性质：Cov(X,X) D(X)，Cov(X,Y) Cov(Y,X) Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y)，Cov(aX c,bY d) abCov(X,Y)

五、大数定律与中心极限定理

1、切比雪夫不等式

若E(X) ,D(X) 2,对于任意 0有P{X E(X) }

D(X)

2

2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若X1 Xn相互独立，

n

n

E(Xi) i,D(XXP

1

i)

i2

且 i2

C，则：

1

n

i

i 1

n

E(Xi

),(n )

i 1

②伯努利大数定律：设nA是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则 0，有：lim nAn

P

p

1 n

③辛钦大数定律：若X1,,Xn

n独立同分布，且E(Xi) ，则1

n

X

i

i 1

n P

3、中心极限定理

①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量Xi(i 1,2,)，均值为 ，方差为 2

0，当n充分大时有：n

Yn ( Xk n

~ N(0,1) k 1

②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量X~B(n,p)，则对任意x有：

2

limP

t2

n

x}

x

dt (x)

n

③近似计算：P(a

Xk b) k 1

六、数理统计的基本概念

1、总体和样本的分布函数 设总体XF(x)，则样本的联合分布函数F(x) n

1,x2 xnk 1

F(xk)

2、统计量 样本均值：X

1n

n

X1i，样本方差：S2

n

(X21

2n 1i X) (Xi2 nX) i 1

i 1n 1

n

i 1

n

样本标准差：S 11

kn 1

(Xi X)2 ，样本k阶原点距：Ak

,k

1,2

i 1

n

n

Xii 1

样本k阶中心距：n

Bk 1n (Xi X)k,k 1,2,3

i 1

3、三大抽样分布

(1) 2分布：设随机变量Xi

N(0,1)(i 1,2,

,n)且相互独立，则称统计量

2 X12 X22 Xn

2

服从自由度为n的 2分布，记为 2~ 2(n) 性质：①E[ 2(n)] n,D[ 2(n)] 2n②设X~ 2(m),Y~ 2

(n)且相互独立，则

X Y~ 2(m n)

(2)t分布：设随机变量X~N(0,1),Y~ 2(n)，且X与Y独立，则称统计量：

T

Xn

服从自由度为n的t分布，记为T~t(n)

2

性质：①E(T) 0(n 1),D(T) n x2

n

2(n 2)②limn fn(x) (x)

(3)F分布：设随机变量X~ 2(m),Y~ 2(n)，且X与Y独立，则称统计量

F(m,n) Xm

Yn服从第一自由度为m，第二自由度为n的

F分布，记为

F~F(m,n)，性质：设F

~F(m,n)，则~F(n,m)

七、参数估计

1.参数估计

①定义：用 (X1,X2,L,Xn)估计总体参数 ，称 (X1,X2,L,Xn)为 的估计量，相应的 (x1,x2,

,xn)为总体 的估计值。

②当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的极大似然估计值 2.点估计中的矩估计法：

基本思想：用样本矩来估计相应的总体矩

求法步骤：设总体X的分布中包含有未知参数 1, 2,, k，它的前k阶原点

矩 i E(Xi)(i 1,2,

,k)中包含了未知参数 1, 2,, k，

即 i gi( 1, 2,, k)(i 1,2,,k)；

又设x1,x2,L,xn为总体X的n个样本值，用样本矩代替 i，在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数

1, 2,, k的矩估计量 1, 2,, k。

注意：分布中有几个未知参数，就求到几阶 …… 此处隐藏：911字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……