数列中不等式放缩的两种常见类型

数列高考的压轴题

数列中不等式放缩的两种常见类型

数列与不等式相结合的问题，屡次作为高考题的压轴题出现。常见的形式是形如“证明某个数列an的和（或积）大于（或小于）一个常数”的问题，需要利用多种技巧进行放缩，学生普遍感觉困难。本文尝试对两种最常见的类型与技巧进行总结说明。

一、拆项型

n

大家熟知的结构是，

k 1

1k(k 1)

n

k 1

(

1k

1k 1

) 1

1n 1

1，推广而言，只要分

母是某个等差数列两项，都可用这种思路，当然，有时需要乘以某个系数，也有时相消

n

后剩余多于两项。它的一个变形是，

k 1

1k

2

n

k 1

1k(k 1)

(k 2)。

事实上，只要分母是同一个数列中的两项乘积的分式形式的数列，都可以考虑这一思路。

例1、（改编自2009深圳一模）已知an 分析：

1

(ak 1)(ak 1 1)

12

n 1

，求证： 12

k

16

n

k 1

2

k

(ak 1)(ak 1 1)

12

.

1

(12

k 1

1)(

12

k

(

112

k

1

2

11

k 1

) 1

1)1

n

k 1

2

kn

(ak 1)(akt 1 1)

(

k 1

112

k

2

1

1

k 1

) 1

2

k

k

2 1

12

再利用函数y

2

x

x

2 1

112

x

在x [1, )上为增函数可得证。

1

例2．（改编自2006年全国卷I） 已知Tn 分析：

Tn

3 2

4 2

2n

n

n

3 2

4 2

2n

n

n

n

6 2 2

，求证： Ti

i 1

32

。

6 2 2

3 2(2

n 1

nn 1

1)(2 2)

=

3(

22

n 1

n

2

22

n 1

n

1

) 3(

22

n 1

n

2

22

n 1

n 2

2

)，

数列高考的压轴题

n

所以， Ti 3(1

i 1

22

n 1

n 2

2

) 3(1

22

n 1n 2

)

32

。

对于有些关于积的不等式，也可以借鉴这种拆项相消的思维。 例3.（改编自08年福建） ①如果对一切n，不等式n

n 2

cn 2

2n 1 1

恒成立，求实数c的取值范围；

②求证：

12

1 32 4

1 3 (2n 1)2 4 (2n)

分析：对于①易得c 1。

对于②，考虑题目的结构特点，我们估计需证

1 3 (2n 1)2 4 (2n)

2n 1

2n 1。

而由①可

知

所1以.

，只需证明

1 3 (2n 1)2 4 (2n)

12n 1

，再次利用拆项相消的经验，我们估计

2n 12n

2n 12n 1

成立，而上式平方易证。 二、等比型

例4、（改编自2007四川）已知bn

43

2

n 1

1

，Tn是{bn}的前n项和，证明Tn 3。

11 q

分析：由于b1 2，如果能将{bn}放大成一个等比数列，使其无穷项和为

3，则

需q

13

。于是，只需证明

bn 1bn

13

。事实上，

bn 1bn

3

4

2

n

3

2

n 1

1

1

4

1

3

1

2

n 1

1

13

。

于是，当n 1时，bn

121n 1

bn 1 ()bn 2 ()b1 333

数列高考的压轴题

1n

b1[1 ()]

111n

∴Tn b1 b2 bn b1 b1 ()n 1b1 3 3 () 3． 13331

3

b1 4,bn 1 4

1bn

|b2n bn|

164

117

n 2

例5、（改编自2009重庆）已知分析：当n 1时，结论b2 b1 当n≥2时，有bn 1 bn |4

1bn

14 1764

，求证：

成立

1

bn bn 1bnbn 1

117

4

bn 1

| ||≤

|bn bn 1|

所以 b2n bn≤bn 1 bn bn 2 bn 1 b2n b2n 1 14

117

117n2n 2

() ()] 17174

1

1

(1)

n 1

164

117

n 2

(1 117

117

n

)

[()

n 1

。

1

例6、(改编自09成都市一诊)若数列 bn 满足：bn 1 bn (n 2)bn 3，b1 1，

①用数学归纳法证明：bn n； ②记Tn

13 b1

13 b2

13 b3

13 bn

2

，证明：Tn 1

12

。

分析：第①问略。对于第②问，观察到

13 b1

14

，而

41

12

12

，所以，只需证

13 bn 1

3 bn

3 bn3 bn 1

12

，即证bn 1 2bn 3，将bn 1 bn (n 2)bn 3 代入，即

2

证bn n。

上面介绍了数列中不等式放缩的两种常见想法，最终选择哪种方法，应该依赖于通项的

结构特点。甚至，有些题这两种策略都可以用。如：

数列高考的压轴题

除此以外，证明数列不等式问题也可考虑使用重要不等式或二项式展开等，或者数学归纳法。篇幅所限，不再赘述。