§2-1 LTI系统的时间方程

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《信号与系统》

§2-1 线性时不变系统的时间方程

第二章 线性时不变(LTI)系统的时域分析§2.1 LTI系统的时间方程§2.2 LTI系统的零输入响应

§2.3 单位冲激响应§2.4 LTI系统的零状态响应

§2.5 卷积的性质---LTI系统的性质§2.6 LTI系统的稳定性与因果性

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§2.1 LTI系统的时间方程一、 LTI系统输入输出方程的建立

已知系统的电路图，根据电器件的物理特性(元器件的约束条件) 和电路定理(网络拓扑约束),可以建立系统的输入输出方程。连续时间LTI系统的输入输出方程，是一常系数线性微分方程。 例如：电路如下，当t=0时开关由1至2,系统输出为电流，试列t>0 时系统的方程。2 1

C

L

解：根据电路定理，可列回路电压 方程：R

20V 10V

e(t )

i (t )

uL (t ) uR (t ) uC (t ) e(t )大连海事大学信息科学技术学院

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§2-1 线性时不变系统的时间方程L

C

20V 10V

e(t )

i (t )

R

uL (t ) uR (t ) uC (t ) e(t )

因为求的是回路中的电流，根据元器件的约束：

di (t ) 1 L Ri (t ) i (t )dt e(t ) dt C

d 2i (t ) di(t ) 1 de(t ) L R i (t ) 2 dt dt C dt d 2i (t ) R di(t ) 1 1 de(t ) i (t ) 2 dt L dt LC L dt《Signals & Systems》 大连海事大学信息科学技术学院

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因为回路的输入电压2 1

C

L

e(t ) 10u( t ) 20u(t ) 10 10u(t )R

20V 10V

e(t )

i (t )

de (t ) 10 (t ) dt所以，当t>0时

e(t )20 10

tde ( t ) dt(10)

d 2i(t ) R di(t ) 1 i (t ) 0 2 dt L dt LC当-∞<t<∞时

t《Signals & Systems》

d 2i(t ) R di(t ) 1 10 i(t ) (t ) 2 dt L dt LC L大连海事大学信息科学技术学院

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系统方程只涉及到输入信号：e(t)与输出信号：i(t),因此成为 系统的输入输出方程。方程中各项的系数均是常数，且左边的各项， 就是输出信号与其各阶导函数的组合，因此称方程为常系数线性微 分方程。N阶常系数线性微分方程的一般形式为：

d y(t ) d x(t ) ak dtk bk dtk k 0 k 0它是N阶线性时不变系统的系统方程。系统的输入是x(t),输出试 y(t):

N

k

M

k

x(t )

LTI

y(t )

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再例如：互耦电路如下，以次级回路电流为输出，试列出系统的输 入输出方程。R M

i2 (t )e(t )L L R

di1 (t ) di2 (t ) Ri1 (t ) L M e(t ) dt dt di2 (t ) di1 (t ) Ri 2 (t ) L M 0 dt dt

(1) (2)

i1 (t )

由(2)式：

di1 (t ) R L di2 (t ) i2 (t ) dt M M dt

(3)

代入(1)式，并将结果求一次导数后，再代入一次得到：

d 2i2 (t ) 2 RL di2 (t ) R2 M de(t ) 2 2 i (t ) 2 2 2 2 2 dt L M dt L M L M 2 dt《Signals & Systems》 大连海事大学信息科学技术学院

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二、 常系数线性微分方程的经典解法线性时不变系统的微分方程d k y(t ) M d k x(t ) ak dtk bk dtk k 0 k 0N

只是给出了系统输入输出的一种约束关系。要求出在给定输入的输 出，还必须有输入作用于系统时刻的一组边界条件。通常我们将输入x(t)作用于系统的时刻设为t=0,解方程求系统 在t>0时，系统的输出y(t)。 经典解法是根据系统的输入和系统在t=0+时刻的一组边界条件--初始条件，将系统的输出分解为自由响应与受迫响应求解的。

通常，我们知道t=0-时刻的一组边界条件---起始条件。当系统 方程的自由项中不出现冲激的时候，它的初始与起始条件是相等的。《Signals & Systems》 大连海事大学信息科学技术学院

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y(t ) yh (t ) y p (t )例如：设有系统方程：d 2 y (t ) dy(t ) dx(t ) 3 2 y (t ) 3x(t ) 2 dt dt dt

且已知

x(t ) te u(t )

3t

(0 ) 1 y(0 ) y

试求t>0时的系统响应y(t)。 解：⑴ 求一个方程的齐次通解。

解微分方程对应的特征方程：得到方程的特征根：

2 3 2 0

1 1

2 2大连海事大学信息科学技术学院

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所以设系统的齐次通解为：

yh (t ) A1e t A2e 2t⑵ 求方程对应自由项的特解，即受迫响应。方程的自由项 dx (t ) 3 x(t ) e 3t u (t ) dt 于是令t>0时特解

y p (t ) Be 3tdyp (t ) dt

将其代入方程左边 …… 此处隐藏：2740字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……