从分析中的反例看古今数学思想的变化

从五个反例入手,涉及到数学中的函数、导数、级数等几个领域,分别介绍了这些反例的意义和相应的历史背景,希望能从这些反例中看到数学思想的一步步进化,从而启发思维,创造更多的反例.

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第2 5卷

第2期

理

工

高

教

研

究

Vo . 5 NO 2 12 . Ap i 2 0 rl 0 6

20 0 6年 4月

J u n l fTe h o o y Co l g d c t n o r a c n lg l eE u a i o e o

从分析【的反例；】看古今数学恩想的变化

华中科技大学

王丽

摘要：从五个反例入手， 涉及到数学中的函数、导数、等几个领域，级数分别介绍了这些反倒的意义和相应的历史背景 .望能从这些反例中看到数学思想的一步步进化，而启发思维，造更多的反例。希从创

纵观数学发展的历史，多新思想的诞生都是由于人们他证明了多项式是连续的。许发现现存的理论会导致与事实相悖的结果，因此，从数学中的反例可以窥探到数学思想的一步步进化。一

W e rt s在分析严密化方面比 B l n, e和 C c y i sr s e a oz o Abl ah a

的有了改进，力求避免直观而把分析奠基在算术概念的基他础上。他批评“一个变量趋予一个极限”的说法，主张把一个变量简单的解释为一个字母 .字母代表可以取值的集合中的该任一个数。一个连续变量如果。该变量的值的集合中的任是值而是任意正数 .一定有变量的其他在区间 (。,。则 一

、

函数及其性质1

反例 l:Da b u (= s n一 (≠ 0 r o x X) i 3 x . 1 ) Da b u (= 0 (= 0 r o x X) x )

一

说明：这个函数取遍从 x的一个负值所对应的函数值到一

十 )。为了消除 B l n中 oz o和 C uh a a c y在定义函数的连续性和

个正值所对应的函数值之间的一切值但是这个函数在X =意义：连续函数的一个基本性质是不足以确保函数是连

极限中用到的短语“变为而且保持小于任意给定的量”的不明确性 . e rtas给出了现今所采用的定义；> O了> O W i srs e V e。,

0点l ix是不存在的， i n ms因此在 X=0点该函数不连续的。

st ..对于区间 f。<内所有的 X都有 I ) (。 f— I厂(一f x )<e则/ ), (在=处连续。如果函数/ r在区间内的每一点 o C)

续的，函数和连续

的定义有变化.而极限理论得到了建即：从立和完善。

处都连续，就说厂 ) (在值的这个区间上连续。

在整个 1 9世纪，连续的概念是人们研讨的对象，因而数学家们对他有了更多的解了 .时候产生使他们感到吃惊的有

在连续性概念本身正被精细地研究着的那些年代里，为了研究地建立分析而进行艰难地尝试就要求人们证明许多原

结果。如上所写的函数，当从 X a变到 x =b时，a O b O先已经被直观地接受了的有关连续函数的定理。在证明的过 (< .> ) B l o证明了有界实数集的最小上界的存在 ( a具体可函数取遍两个给定值之间的一切中间值，但却不是连续的。这程中， ozn

样，连续函数的一个基本性质是不足以确保函数连续的。

参考[]。个定理证实了对于任何有界无穷点集 .在一个 1)这存

使得该点的任何领域内都有这个无穷点集的点。C uh acy从这个反例中，连续和间断之间特有的区别逐渐显现出点，已经不加证明地用过定义在闭区间上的连续函数存在最小值来了。由此，数学家们发现了分析方面的不严密性。i sr s和 C no e a a tr的思想的鼓舞下， e e Hi n对函数性质的仔细研究是由B rh r ozn en adB la o开始的，这个结论。在 We rt s而他试图为代数基本定理给出一个纯算术证明来替代 G u s用定义了单变量或多变量函数的一致连续性，后又证明了在 as

几何思想的第一个证明 B l n oz o给出了连续性的恰当定义，实数系的有界闭区间上的连续函数是一致连续的。他引进且 a即若在区间内任一 x处，只要 u的绝对值 )分小，能使差 f利用了有限覆盖定理 .楚地认识到能够选出有限个覆盖区 (充就 清

(+ ) ( ( x -fX)的绝对值)任意小，那么就说在该区间上连续。问的重要性。 且对原来的区间集合 V是可数的情形首先把它