《证明不等式的基本方法-反证法与放缩法》课件

不等式的证明

2.3《证明不等式的 基本方法--反证法与放缩法》

复习 不等式证明的常用方法: 比较法、综合法、分析法

三、反证法与放缩法1.什么是反证法？ 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到 和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成 立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难 的命题常常用反证法证明. 2.反证法主要适用于什么情形？ (1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件 推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.4

例1 已 知x , y 0, 且x y 2, 1 x 1 y 试证 , 中至少有一个小于 2. y x 1 x 1 y 证明 : 假设 , 都不小于2, y x

1 x 1 y 即 2, 且 2, y x x , y 0, 1 x 2 y , 1 y 2 x , 2 x y 2( x y ) x y 2, 这与已知条件x y 2矛盾. 1 x 1 y 与 中至少有一个小于2 y x5

例2 已知a, b, c为实数 , a b c 0, ab bc ca 0, abc 0, 求证: a 0, b 0, c 0.证明 : 假设a , b, c不全是正数, 即其中至少有一个不是 正数, 不妨先设a 0, 下面分a 0和a 0两种情况讨论. (1)如果a 0, 则abc 0, 与abc 0矛盾, a 0不可能. ( 2)如果a 0, 那么由abc 0可得bc 0, 又a b c 0, b c a 0, 于是ab bc ca a (b c ) bc 0, 这和已知ab bc ca 0相矛盾. a 0也不可能. 综上所述a 0, 同理可证b 0, c 0, 所以原命题成立.

练习：若p>0,q>0,且p3+q3=2, 求证：p+q≤26

例3、设0 < a, b, c < 1,求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a, 不可能同时大于1/4

证明：设(1 a)b>1/4, (1 b)c>1/4,(1 c)a>1/4,则三式相乘： (1 a)b (1 b)c (1 c)a > 1 64又∵0 < a, b, c < 1

①

1 以上三式相乘： (1 a)a (1 b)b (1 c)c≤ 64 与①矛盾∴结论成立

1 1 ( 1 b ) b (1 c ) c 同理： 4 4

1 (1 a ) a ∴0 (1 a )a 2 4

2

放缩法 在证明不等式过程中，有时为了证明 的需要，可对有关式子适当进行放大或缩 小，实现证明。例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。8

例4 已知a, b, c, d R ,求证 a b c d 1 2 a b d b c a c d b d a c证明 : a , b, c , d 0, a a a a b c

d a b d a b b b b a b c d b c a a b c c c a b c d c d b c d d d d a b c d d a c c d9

把以上四个不等式相加 得 a b c d a b c d a b c d a b d b c a c b d d a c a b c d . 即 a b c d a b c d 1 2 a b d b c a c b a d a ca b 1 a b a 1 a b 1 b

练习: 已知a, b是实数,求证

.

例5、巳知：a、b、c∈ R ,求证：

a ab b a ac c a b c2 2 2 2

略 解

a 2 ab b 2

a 2 ac c 2 a 2 3 2 (c ) a 2 4

a 2 3 2 (b ) a 2 4

a 2 (b ) 2 a b c2 2 2

a 2 (c ) 2

练习：已知实数x, y, z不全为零，求证： 3 11 x xy y y yz z z zx x ( x y z ) 22 2 2

例6:求证： 1 1 1 * 2( n+1-1)<1+ ... 2 n (n n ) 2 3 n1 2 2 2( k k 1), k N * k 2 k k k 11 1 1 1 2 3 n 2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.12

放缩法就是将不等式的 一边放大或缩小, 寻找一个 中间量, 如将A放大成C , 即A C , 后证C B .常用的 放缩技巧有 : (1)舍掉(或加进)一些项; ( 2)在分式中放大或缩小分 子或分母; ( 3)应用基本不等式进行放 缩 .如 1 2 3 1 2 ① (a ) (a ) ; 2 4 2 1 1 1 1 1 2 ② 2 , 2 , , k ( k 1) k k ( k 1) k k k 1 k 1 2 (以上k 2且k N ) k k k 1 13

补充练习题:1.已 知 ABC的 三 边 长 是 a , b, c , 且m为 正 数 , a b c 求 证: a m b m c m

x m 证明 : 设函数f ( x ) 1 ( x 0, m 0), x m x m 易知f ( x )在( 0, )上是增函数. a b a b f (a ) f (b) a m b m a b m a b m a b f (a b) a b m c 又a b c , f (a b ) f ( c ) c m a b c a m b m c m

课堂小结 证明不等式的特殊方法: (1)放缩法：对不等式中的有关式子进行 适当的放缩实现证明的方法。 (2)反证法：先假设结论的否命题成立， 再寻求矛盾，推翻假设，从而证明结 论成立的方法。