高中数学一轮(理科) 人教A版配套多媒体课件第九章平面解析几何几何第7讲

时间：2025-07-10

第 7 讲夯基释疑

抛物线

考点一考点二

例1例2 例3 例4

训练1训练2 训练3 训练4

概要

考点突破考点三考点四

课堂小结

夯基释疑

判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程 y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其 a a 焦点坐标是 4,0 ,准线方程是 x=- .( ) 4 (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( ) (4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2=-2ay(a>0)的通径长为 2a.( )

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考点突破考点一抛物线的定义及应用【例1】(1)F是抛物线y2=2x的焦点，A,B是抛物线上的两点， |AF|+|BF|=6,则线段AB的中点到y轴的距离为________. (2)已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M, 点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时，|PA|+|PM|的最小值是利用抛物线的定义 ________. 解析 (1)如图，过A,B分别作准线的垂线，垂足分别为D,E, 由|AF|+|BF|=6及抛物线的定义知|AD|+|BE|=6,

所以线段 AB 的中点到准线的距离为 1 (|AD|+|BE|)=3. 2 1 又抛物线的准线为 x=- , 2 5 所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 . 2第3页

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考点突破考点一抛物线的定义及应用(2)已知点P是抛物线y2=4x上的动点，点P在y轴上的射影是M, 点A的坐标是(4,a),则当|a|>4时，|PA|+|PM|的最小值是__. (2)将x=4代入抛物线方程y2=4x,得y=±4,|a|>4, 所以A在抛物线的外部，如图. 由题意知F(1,0),抛物线上点P到准线l:x=-1的距离为|PN|, 由定义知，|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1. 当A,P,F三点共线时， |PA|+|PF|取最小值，此时|PA|+|PM|也最小，最小值为|AF|-1= 9+a2-1.5 答案 (1) (2) 9+a2-1 2返回目录结束放映

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考点突破考点一抛物线的定义及应用

规律方法

与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线” ,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.

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考点突破考点一抛物线的定义及应用【训练 1】已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点，则点 P 到点 (0, 2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) 17 9 A. B.3 C. 5 D. 2 2

解析抛物线

y2=2x

1 的焦点为 F 2,0 ,准线是 l,

由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(

0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离. 2 1 17 2 因此所求的最小值等于 2 +(-2) = 2 ,选 A. 答案 A第6页

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考点突破考点二抛物线的标准方程和几何性质x2 y2 【例 2】(1)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 2. a b 若抛物线 C2: x2=2py(p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为( ) 8 3 16 3 2 2 A.x = y B.x = y C.x2=8y D.x2=16y 3 3 (2)见下一页x2 y2 c c2 a2+b2 解析 (1)∵ 2- 2=1 的离心率为 2,∴ =2,即 2= 2 =4, a b a a a b p 2 ∴ = 3. x =2py 的焦点坐标为 0, , a 2 x2 y2 b - =1 的渐近线方程为 y=± x, a 即 y=± 3x. a2 b2 p 2 由题意得 =2, ∴p=8. 故C2的方程为x2=16y. 1+( 3)2第7页

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考点突破考点二抛物线的标准方程和几何性质【例 2】(2)过抛物线 y2= 4x 的焦点为 F 的直线交抛物线于 A,B 两点，O 为坐标原点.若 |AF|= 3,则△ AOB 的面积为 ________.

(2)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2)( y1>0,y2<0), 如图所示，|AF|=x1+1=3,

∴ x1=2,y1=2 2, 设AB的方程为x-1=t y, 2 y = 4x, 由消去 x 得 y2-4t y-4=0. x- 1= t y, 1 ∴ y1 y2=-4.∴ y2 =- 2, x2= , 2 1 3 2 ∴ S△AOB= ×1×| y1-y2 |= . 2 2 3 2 答案 (1)D (2) 2第8页

y C A

O B

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考点突破考点二抛物线的标准方程和几何性质

规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题是，需要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、定点、准线的问题更是如此.

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考点突破考点二抛物线的标准方程和几何性质【训练 2】(1)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上，记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为( ) 4 3 1 A.- B.-1 C.- D.- 3 4 2 (2)见下一页

解析

由点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上，

得焦点F(2,0),3 3 ∴kAF= =- ,故选 C. 4 -2-2

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考点突破考点二抛物线的标准方程和几何性质【训练 2】(2) (2014· 湖南卷)如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG 的边长分别为 a, b(a<b), 原点 O 为 AD 的中点，抛物线 y2=2px(p>0) b 经过 C,F 两点，则 =________

. a