2013版高中全程复习方略配套课件：2.3函数的奇偶性与周期性(人教A版·数学理

第三节 函数的奇偶性与周期性

三年11考

高考指数:★★★

1.理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性； 2.了解函数的周期性； 3.会运用函数图象理解和讨论函数的性质.

1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点； 2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题; 3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目.

1.奇函数、偶函数的定义 对于函数f(x)的定义域内的任意一个x. f(-x)=f(x) (1)f(x)为偶函数 __________; f(-x)=-f(x) (2)f(x)为奇函数 ____________.

【即时应用】(1)判断下列六个函数是否是奇函数.(请在括号中填“是”或 “否”) ①y=x2-|x| ②y=sin3x ③y x 1x

( ( ( (

) ) ) )

④y=3x-3-x

⑤y=|x|cosx⑥y=x2,x∈(-1,1]

((

))

(2)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，那么

a+b的值是______.(3)已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2,则

f(x)=______.【解析】(1)由奇函数、偶函数定义知，函数①,⑤为偶函数， ②,③,④为奇函数,⑥是非奇非偶函数.

a 1<2a 1 (2)由已知得 , 解得 a , 3 a 1 2a 1 f x x 2 bx, 又f(-x)=f(x), 3 1 1 即 x 2 bx x 2 bx bx 0, 3 3 2 2 1 1 又x∈[ , ],∴b=0,故 a b 0 . 3 3 3 3

(3)由题意知f(0)=0,当x<0时，-x>0, ∴f(-x)=(-x)2=x2, 又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2, x 2 , x 0 综上， x 0,x 0 . f x 2 , x 0

答案：(1)①否 ②是 x 2 , x 0 3 2 x , x 0

③是

④是

⑤否

⑥否

(2) 13

2.奇、偶函数图象的性质 原点 (1)奇函数图象的特征：关于_____对称. y轴 (2)偶函数图象的特征：关于_____对称.

【即时应用】

(1)思考：函数f(x)=x+sinx,g(x)=x·sinx各自图象有何对称性？ 提示：f(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称；g(x)为偶函 数，所以其图象关于y轴对称.

(2)已知y=f(x)是偶函数，且其图象与x轴有5个交点，则方程 f(x)=0的所有实根之和是______. 【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，故其与x轴的5个交 点亦关于y轴对称，或在y轴上，故其和为0. 答案：0

3.周期性 (1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0; f(x+T)=f(x) ②____________对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 最小的正数 ___________,那么这个___________就叫做它的最小正周期.

【即时应用】(1)已知函数f(x),对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x),且x∈(0,2)

时，f(x)=2 012x2,则f(2 013)=______.(2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的 最小正周期为______.

【解析】(1)∵f(x+4)=f(x),∴f(x)的最小正周期为4, ∴f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=2 012×12=2 012. (2)∵f(x

+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-[-f(x)]=f(x).∴最小正周 期为2. 答案：(1)2 012 (2)2

判断函数的奇偶性 【方法点睛】 判断函数奇偶性的常用方法及思路 (1)定义法：

确定定义域

定义域 关于原点对称 是

否 既不是奇函数 也不是偶函数

计算f(-x)

确定f(x)与f(-x)的关系

结论