数学物理方程第二版(谷超豪)前三章习题答案

第一章． 波动方程

§1 方程的导出。定解条件

1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程

2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在x 0,x l两点则相应的边界条件为 u(0,t) 0,u(l,t) 0.

(2)若x l为自由端，则杆在x l的张力T(l,t) E(x)

界条件为

u u

x E

t t x x

其中 为杆的密度，E为杨氏模量。

证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x与x x。现在计算这段杆在时

刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：

u

|x l等于零，因此相应的边 x

u

|x l=0 x

u

∣x 0 0 x

同理，若x 0为自由端，则相应的边界条件为

(3)若x l端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移

由函数v(t)给出，则在x l端支承的伸长为u(l,t) v(t)。由虎克定律有

x u(x,t);x x u(x x,t)

其相对伸长等于 令

[x x u(x x,t)] [x u(x,t)] x

ux(x x,t)

x

E

u

∣x l k[u(l,t) v(t)] x

uk u)∣x l f(t) 其中 xE

x 0，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。由虎克定律，张力T(x,t)等于

T(x,t) E(x)ux(x,t)

其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件

(

特别地，若支承固定于一定点上，则v(t) 0,得边界条件

其中E(x)是在点x的杨氏模量。

(

设杆的横截面面积为S(x),则作用在杆段(x,x x)两端的力分别为

u

u)∣x l 0。 x

同理，若x 0端固定在弹性支承上，则得边界条件

E(x)S(x)ux(x,t);E(x x)S(x x)ux(x x,t).

于是得运动方程

(x)s(x) x utt(x,t) ESux(x x)|x x ESux(x)|x

(ESux) x

u

∣x 0 k[u(0,t) v(t)] x u

即 ( u)∣x 0 f(t).

x

E

利用微分中值定理，消去 x，再令 x 0得

(x)s(x)utt

若s(x) 常量，则得

x2 ux2 2u

3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 E [(1 )] (1 )

xh xh t2

其中h为圆锥的高(如图1)

证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l为：

u 2u

(x)2=(E(x))

x x t

即得所证。

1

x

l 1

h

所以截面积s(x) (1 )。利用第1题，得

xh

2

证：函数u(x,y,t)

1t2 x2 y2

在锥t x y>0内对变量x,y,t有

32

222

x2 2u x2 u

(x) (1 ) [E (1 )]

h t2 xh x

二阶连续偏导数。且

2

若E(x) E为常量，则得

u

(t2 x2 y2) t

t

x2 ux2 2u

E[(1 )] (1 )2

xh xh t

4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，

试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为 ，则x点处的张力T(x)为

35

u

(t2 x2 y2)2 3(t2 x2 y2)2 t2 2

t

(t

2

x2 y2)

32

(2t2 x2 y2)

T(x) g(l x)

且T(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为

u

(t2 x2 y2) x

2

32

x

35 u

t2 x2 y22 3t2 x2 y22x2 2

x

g(l x)sin (x); g(l (x x))sin (x x)

其中 (x)表示T(x)方向与x轴的夹角

又 sin tg 于是得运动方程

2x2 y2

5 2u

同理 t2 x2 y2 2 t2 x2 2y2

y2

t2 x2

所以

5

y22t2

u x.

2u x

2

2u y

2

t x

22

5 y22

2t

2

x y

22

t2.

2u

u 2u u

x2 [l (x x)]∣x x g [l x]∣x g

x x t

利用微分中值定理，消去 x，再令 x 0得

即得所证。

6. 在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)

与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b), 但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.

解: 利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段 x,x x 上所受的摩阻力.由题设,单位质量所受摩阻力为 b

2u u

g[(l x)]。

x x t2

5. 验证 u(x,y,t)

1t2 x2 y2

在锥t x y>0中都满足波动方程

运动方程为:

222

u

,故 x,x x 上所受摩阻力为 t

u

b p x s x x

t

2u 2u 2u

2 2 2 t x y

2

x s x x

2u

u u u

ES x x ESx b x s x x

x t t t2

利用微分中值定理，消去 x,再令 x 0得

x s x 2u u u

t2 x ES x b x s x

t

. 若s(x) 常数，则得

x 2u u u t

2 x E x b x t

若

x 是常量,E x E也是常量.令a2

E

,则得方程

2u t2 b u2

t a2 u x

2

. §2 达朗贝尔公式、 波的传抪

1. 证明方程

x 2 u 1 x 2

2u

x 1 h x

a2 1 h t2

h 0常数 的通解可以写成

u

F x at G x at …… 此处隐藏：13709字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……