观 察观察两副三角尺如图，其中同样角度(30°与60°,或 45°与45°)的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是 相似的.一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们 一定相似吗？

一定相 似

探究作△ABC和△A'B'C',使得∠A=∠A',∠B=∠B',这时

它们的第三个角满足∠C=∠C'吗？分别度量这两个三角形 AB BC CA 、 、 的边长，计算 ，你有什么现？ A' B' B' C ' C ' A'A A'

B

C

B'

C'

满足：∠C = ∠C'AB BC CA A ' B ' B 'C ' C ' A '△ABC∽△A'B'C'

探究把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？ △ABC和△A'B'C'相似吗？

一样 △ABC和△A'B'C'相似得到判定两个三角形相似的又一个简便方法：

如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B', 求证: △ABC∽△A'B'C' 证明：在△ABC的边AB(或延长线)上，截取AD=A'B',过点D

作DE//BC,交AC于点E,则有△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B' ∴∠ADE=∠B' 又∵∠A=∠A',AD=A'B' ∴△ADE≌△A'B'C' ∴△A'B'C'∽△ABC D B E A

A'

C

B'

C'

判定定理三：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等，那么这两个三角形相似.

(两个角对应相等，两三角形相似)符号语言： A A , B B ABC ∽ A B C B A

A'

C

B'

C'

例2 如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P,求证PA· =PC· PB PD证明：连接AC、BD. ∵ ∠A和∠D都是 CB 所对的圆周角，

∴ ∠A=∠D 同理 ∠C=∠B ∴ △PAC∽△PDB

A D P O · B C

PA PC PD PB即 PA· =PC· PB PD

如图, 在Rt ABC和Rt A B C 中， C= C =90°, 求证：Rt ABC ∽ Rt A B C 证明：设 AB AC k, A B A C

AB AC . A B A C A

A

则AB=kA B , AC kA C , 由勾股定理得：BC= AB2 AC 2 , B C A B 2 A C 2 BC B C AB2 AC 2 B C

C

B

C

B

(kA B ) 2 (kA C ) 2 B C

k 2 A B 2 k 2 A C 2 k B C · · · k B C B C AB AC BC A B A C B C Rt ABC ∽ Rt A B C

练 习1. 底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？ 证明你的结论. A A'

B

CB' C'

已知：等腰△ABC AB = AC 和等腰△A'B'C' ,A'B'=A'C' 且有∠B=∠B', 求证:△ABC∽△A'B'C' 证明：∵等腰三角形 AB=AC ∵等腰三角形 A'B'=A'C' ∵∠B=∠B', ∴∠B=∠C ∴∠B'=∠C'

∴∠C=∠C'

∴△ABC∽△A'B'C'

已知:等腰△ABC 有AB=AC 和 △A'B'C' 有A'B'=A'C', 并且 ∠A=∠A', 求证:△ABC∽△A'B'C'

证明：∵ △ABC中AB=AC,∠B =∠C∴ 2∠B =180°-∠A

A

1 B 90 A 2

B

C

同理 △A'B'C'中A'B'=A'C',∠B' =∠C' ∴ 2

∠B' =180°-∠A' A'

1 B ' 90 A ' 2

又 ∠A=∠A' ∵ ∠B=∠B', ∵ △ABC∽△A'B'C' B' C'

已知:等腰△ABC 有AB=AC 和 △A'B'C' 有A'B'=A'C', 并且 ∠A=∠A', 求证:△ABC∽△A'B'C' A

证明： AB AC , A B A C AB AC A B A C 又 A= A ABC ∽ A B C B C

A'

B'

C'

2. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD都 和△ABC相似吗？证明你的结论. △ACD∽△ABC △CBD∽△ABC 证明：A D B C1 2

∵∠ACB=∠ADC=90°又∠ A = ∠ A ∴ △ACD∽△ABC

∵∠CDB=∠ACB=90° ∠B = ∠B ∴ △CBD∽△ABC