浙江省重点中学协作体 2013届高三摸底测试

数学（理）试题

本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟

选择题部分（共50分）

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式：

如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的体积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh 如果事件A, B相互独立, 那么 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高 P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=Sh

31

次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高

kn-k Pn(k)=Ck(k = 0,1,2,…, n) np (1－p)

球的表面积公式 S = 4πR2 球的体积公式 V=πR3

34

棱台的体积公式

V

13

h(S1 S1S2 S2)

其中S1, S2分别表示棱台的上、下底面积,

h表示棱台的高 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合

题目要求的。 1．复数z

m 2i

m R 在复平面上对应的点不可能位于 1 2i

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．函数f(x) x3 1 x3 1,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是

A．( a, f(a)) B．(a,f( a)) C．(a, f(a)) D．( a, f( a)) 3．关于直线a,b,l以及平面M,N，下面命题中正确的是

A．若a//M,b//M, 则a//b; B．若a//M,b a, 则b M;C．若a M,b M, 且l a,l b,则l M;

D．若a M,a//N,则M N.

4．已知f(x) 2x 3(x R)，若f(x) 1 a的必要条件是x 1 b(a,b 0)，则a,b

之间的关系是 A

abb B．b C．a D．a 222

5．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个 “正交线面对”。在一

个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成 “正交线面对”的个数是 A．48 B．36 C．24 D．18 6．执行如右图所示的程序框图，输出的S值为

225226

A．(4 1) B．(4 1)

33

C．2

50

1 D．2 1

51

7．已知 为锐角，且有2tan 3cos 5 0，

2

tan 6sin 1 0，则sin 的值是

A．

3537

B． 5731

D． 103

C．

8．设P为 ABC所在平面内一点，且5AP 2AB AC 0，则

PAB的面积与 ABC的面积之比等于

12A． B．

C D．不确定

459．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f( x) f(x)，f( 2) 3，数列 an 满足

2

a1 1，且Sn 2an n，（其中Sn为 an 的前n项和）。则f(a5) f(a6)

A．3

B． 2 C． 3

D．2

x2y2

1，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线y 4x m对称时m 10．已知椭圆43

的取值范围为 A．

33

B

． m m

1313332323

D．

m m

13131313

C．

非选择题部分（共100分）

1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．

2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．设全集U {1,3,5,7}，集合M {1,a 5}，M U，

ðUM 5,7 ，则实数a的值为12．已知钝角三角形ABC的最大边长为4，其余两边长分别为x,y，那么以 x,y 为坐标的点所表示的平面区域面积是 ．

13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

表面积与其外接球面积之比为________. 14．已知a

b,ab 1,正视图

侧视图

．

15件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为 ．

2

俯视图

16．已知a 0且a 1，则使方程loga(x ak) loga2(x a)有解时的k的取值范围为 17．已知等差数列 an 首项为a，公差为b，等比数列 bn 首项为b，公比为a，其中a,b 都是大

于1的正整数，且a1 b1,b2 a3，对于任意的n N*，总存在m N*，使得am 3 bn成立，则an

三、解答题：本大题共5小题，共计72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、．．．．．．．证明或演算步骤. 18．（本小题满分14分）

设函数f(x) sin(2x ) ( π 0)，y f(x)图像的一条对称轴是直线x （Ⅰ）求 及函数y f(x)的单调增区间

（Ⅱ）证明：直线5x 2y c 0于函数y f(x)的图像不相切．

2

π． 8

浙江省某示范性高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表：

（Ⅱ）设周三各辅导讲座满座的科目数为 ，求随即变量 的分布列和数学期望.

20．（本小题满分14分）

如图，斜三棱柱ABC A1B1C1，已知侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC 60 ，BC BB1=2，若二面角A B1B C为30°，

（Ⅰ）证明AC 平面BB1C1C及求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值；

（Ⅱ）在平面AA1B1B内找一点P，使三棱锥P BB1C为正三棱锥，并求P到平面BB1C距离 21．（本题满分15分）

在直角坐标系xoy上取两个定点A1( 2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn 3.

（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；

（Ⅱ）已知点A(1,t)(t 0)是轨迹M上的定点，E,F是轨迹M上的两个动点，如果直 线AE的斜率kAE与直线AF的斜率kAF满足kAE kAF 0，试探究直线EF的斜 率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.

B1

C

A

C1

A1

已知函数f(x) ex kx，x R

（Ⅰ）若k 0，且对于任意x R，f(x) 0恒成立，试确定实数k的取值范围； （Ⅱ）设函数F(x) f(x) f( x)，求证：F(1)F(2) F(n) (e

n 1

2)(n N )

n2

2013届浙江省重点中学协作体高三摸底测试

数学（理科）试题答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

二、对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。

三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

五、未在规定区域内答题, 每错一个区域扣卷面总分1分。

一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题5分, 满分50分。 (1) A (2) B (3) D (4) A (5) B (6) A (7) C (8) C (9) A (10) B

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题4分, 满分28分。 (11) 8 (12) 4 8 (13)

3

(14) (15) 0.1 p a (16) 0 k 1或k 1 (17) 5n 3 三、解答题：本大题共5小题，共72分。

(18)本题主要考查三角函数等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。 解：（Ⅰ）∵x

8

是函数y=f（x）的图象的对称轴，

) 1 k ,k Z， ……………2分

842

3

∵ 0，∴ 。 ……………4分

4

3

∴y sin(2x )。

4 3

由题意得2k 2x 2k ,k Z，

242

3 5

所以函数y sin(2x )的单调增区间为[k ,k ],k Z。………7分

488

3 /3 /

（Ⅱ）证明：∵｜y｜=|（sin(2x ))|=|2cos(2x )|≤2

44

∴sin(2

所以曲线y=f（x）的切线的斜率取值范围是[-2,2]， ……………10分 而直线5x-2y+c＝0的斜率为

5

＞2， 2

3

)的图象不相切。……………14分 4

所以直线5x-2y+c＝0与函数y sin(2x

(19)本题主要考查概率、分布列、数学期望等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。 解：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则

1221

P(A) (1 )(1 )(1 ) --------3分

23318

（Ⅱ） 可能取值为0，1，2，3，4，5

121

P( 0) (1 )4 (1 )

2348

1212111P( 1) C4 (1 )3 (1 ) (1 )4 223238112127211 P( 2) C4 ()2(1 )2 (1 ) C4 (1 )3 22322324112112132

P( 3) C4 ()3(1 ) (1 ) C4 ()2 (1 )2

22322331211233

P( 4) ()4 (1 ) C4 ()3 (1 )

2322316121

-----------9分 P( 5) ()4

2324

所以，随即变量 的分布列如下

=-----------14分 E 0 1 2 3 4 5

48824316243

(20) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象

能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分14分. 解：（Ⅰ）面BB1C1C 面ABC，因为面BB1C1C 面BB1C1C＝BC，AC BC，

所以AC 面BB1C1C．……………3分

取BB1中点E，连接CE,AE，在 CBB1中，BB1 CB 2, CBB1 60

CBB1是正三角形， CE BB1，又AC 面BB1C1C且BB1 面BB1C1C， BB1 AE，即 CEA即为二面角A B1B C的平面角为30°，

AC 面BB1C1C， AC CE，在Rt ECA 中， CE 3, AC CE tan300 1，

又AC 面BB1C1C， CB1A即AB1与面BB1C1C所成的线面角， 在Rt B1CA中，tan CB1A

AC1

……………8分 CB12

（Ⅱ）在CE上取点P1，使

CP12

，则因为CE是 B1BC的中线， P1E1

P1是 B1BC的重心，在 ECA中，过P1作P1P//CA交AE于P，

AC 面BB1C1C，P1P//CA

PP1 面CBB1，即P点在平面CBB1上的射影是 BCB1的中心，该点即为所求，

且

PP111

， PP1 ．……………14分 AC33

(21) 本题主要考查椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。 解：（Ⅰ）依题意知直线A1N1的方程为：y 直线A2N2的方程为：y

m

……………………2分 (x 2) ①

2

n

…………………………3分 (x 2) ②

2

mn2

设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2交点，①×②得y2 (x 4)

4

x2y2

由mn 3 整理得 1 …………………………4分

43

∵N1,N2不与原点重合 ∴点A1( 2,0),A2(2,0)不在轨迹M上…………………………5分

x2y2

∴轨迹M的方程为 1（x 2）…………………………6分

431t23

（Ⅱ）∵点A(1,t)(t 0)在轨迹M上 ∴ 1解得t ，

432

即点A的坐标为(1,)…………………7分

3

2

设kAE

x2y23

1并整理得 k，则直线AE方程为：y k(x 1) ，代入

432

3

(3 4k2)x2 4k(3 2k)x 4( k)2 12 0…………………………9分

2

3

设E(xE,yE),F(xF,yF), ∵点A(1,)在轨迹M上，

2

3

4( k)2 12

3

∴xE ③, ………………………11分 y kx k ④EE

3 4k22

又kAE kAF 0得kAF k，将③、④式中的k代换成 k，可得

3

4( k)2 12

3

，xF y kx k…………………………12分 FF2

23 4k

∴直线EF的斜率KEF

yF yE k(xF xE) 2k

…………………………13分

xF xExF xE

8k2 624k

∵xE xF ,x x FE

4k2 34k2 3

8k2 6 k 2 2k

k(8k2 6) 2k(4k2 3)1∴KEF

24k24k2 3

1

即直线EF的斜率为定值，其值为…………………………15分

2

(22) 本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、导数应用，同时考查推理论证能力，分类讨论

等综合解题能力和创新意识。满分15分。 解：（Ⅰ）由f( x) f(x)可知f(x)是偶函数．

于是f(x) 0对任意x R成立等价于f(x) 0对任意x≥0成立． 由f (x) e k 0得x lnk．

①当k (0，1]时，f (x) e k 1 k≥0(x 0)．

此时f(x)在[0， )上单调递增． 故f(x)≥f(0) 1 0，符合题意． ②当k (1， )时，lnk 0．

当x变化时f (x)，f(x)的变化情况如下表：

x

x

由此可得，在[0， )上，f(x)≥f(lnk) k klnk．

1 k e． 依题意，k klnk 0，又k 1，

综合①，②得，实数k的取值范围是0 k e．·········7分

（Ⅱ） F(x) f(x) f( x) e e，

x

x

F(x1)F(x2) ex1 x2 e (x1 x2) ex1 x2 e x1 x2 ex1 x2 e (x1 x2) 2 ex1 x2 2，

F(2)F(n 1) en 1 2

F(1)F(n) en 1 2，

F(n)F(1) en 1 2.

由此得，[F(1)F(2) F(n)]2 [F(1)F(n)][F(2)F(n 1)] [F(n)F(1)] (en 1 2)n 故F(1)F(2) F(n) (e n 1

········15分 2)，n N ．·

n

2