24.1.2_垂直于弦的直径2(人教版九年级数学上)

人教版九年级数学上

温故知新

垂径定理

定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对 的两条弧.如图∵ CD是直径,∴AM=BM, CD⊥AB,

⌒ ⌒ AC =BC,

⌒ ⌒ AD=BD.

C

推论：平分弦(不是直径) 的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧。

O · A E D B

课堂讨论根据已知条件进行推导：①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧 ① ③ ① ⑤

① ②

③ ④ ⑤① ④

② ④ ⑤

③ ② ④ ③ ② (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。 (2)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。 (3)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

③ ② ⑤ ① ④ ⑤

三个命题命题一：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。 C

⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD⊥AB,AD=BD,AC=BC 命题二：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， A 并且平分弦所对的另一条弧。⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 已知：CD是直径，AB是弦，并且AD=BD (AC=BC)。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD平分AB,AC=BC(AD=BD)CD ⊥AB

⌒

.D

O E B

命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧。已知：AB是弦，CD平分AB,CD ⊥AB。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 求证：CD是直径， AD=BD,AC=BC

要点归纳：根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备： ① ② ③ ④ ⑤ 经过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧

那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。

即：有2就有3

例1:求作弧AB的四等分点.C m n

FA

E

G

B

D

例2 : 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O 是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足 为F,EF=90m.求这段弯路的半径.

解:连接OC.设弯路的半径为Rm, 则OF ( R 90)m. OE CD, 1 1 CF CD 600 300(m). 2 2 OC 2 CF 2 OF 2 ,即 根据勾股定理, 得R 2 300 2 R 90 . D 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545m.2

CE F●

O

例3: 半径为5的圆中，有两条平行弦 AB 和CD,并且AB =6,CD=8,求AB 和CD间的距离.C E D A C F B

.OF B

.O

E

D

A

(1)

(2)

做这类问题是，思考问题一定要 全面，考虑到多种情况.

巩固训练(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为 30 °,求弦 AB 的长.

O 6 O A30°

E

B

M A

B

C (2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分, 交点为 M , 求 弦 AB 的长.

(3).如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米， 桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4

米。

C

A

·O

D

B

1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm,求油的最大深度.

A

O ┌ E

DD600

B

C

在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽 AB = 600mm,求油的最大深度.

D

A

O ┌ E

A

600

B

O ø650

DD600

B

C

C

课堂小结:M

A

E

C A

D B

.O

BA C

. E

OD B

.ON

解决有关弦的问题，经常是过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半 径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。

达标测评1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 5Cm 那么⊙O的半径为4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC, 6 OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M, 13 N,且OM=2,0N=3,则AB= , AC= 4 ,OA=B M A

O

N C

5. 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB于D,OE⊥AC于E.

求证：四边形ADOE是正方形.

C E A O D B