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第二章 随机变量

2.1 P

1/36 1/18 1/12 1/9

5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36

2.2解：根据

P(X k) 1，得 ae

k 0

k 0

k

ae 1

1。 1，即 1

1 e

故 a e 1

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同

P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=

020211112020

C20.70.3 C20.40.6 C20.70.3 C20.40.6 C20.70.3 C20.40.6 0.31240

1

1

2

2

(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

1102200220110.70.3 0.40.6 0.70.3 0.40.6 0.70.3 0.40.6 0.5628C2C2C2C2C2C2

1

2

2

1

2.4 解:（1）P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=

1232

1515155

(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=

121 15155

11k[1 ()]11111(3) 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=2 4 6 2k=lim k 222231

4

（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1

111 244

2.6解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B(4,0.4)

1

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P(X 3) P(X 3) P(X 4) C40.430.61 C40.440.60 0.1792

(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B(5,0.4)

P(X 3) P(X 3) P(X 4) P(X 5) C50.430.62 C50.440.61 C50.450.60 0.31744

3

4

5

34

2.7 （1）X～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)

1.50 1.5 1.5

e=e P{X 0} 0!

（2）X～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)

20 221 2

P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 e e 1 3e 2

0!1!

,0.01)。2.8解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则X~B(180

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即P(X m) 0.99，也即

P(X m 1) 0.01

因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为 180 0.01 1.8的泊松分布。 查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。 故应至少配备6名设备维修人员。

2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为

10001

P(1000 X 1500)

1000x2x10003

1500

1500

设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则Y~B(5,)。所求的概率为

1

3

1280

P(Y 2) C52()2 ()3 5 0.329

333

2.10（1）

2

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假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.8 X 1} 12x(1 x)2dx (6x2 8x3 3x4)| 0.0272

0.8

0.8

11

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.9 X 1} 12x(1 x)2dx (6x2 8x3 3x4)| 0.0037

0.9

0.9

11

2.11解：要使方程

x

2

2Kx 2K 3 0有实根则使 (2K) 4(2K 3) 0

2

解得K的取值范围为[ , 1] [4, ],又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为

p

[ 1 ( 2) 4 3]1

4 ( 2)3

1

) 200

111

x100 1 200

200

edx e 1 e2 |0200

2.12解：X~P(λ)= P(

(1) P{X 100}

100

113

x 1 200

200

edx e e2 （2）P{X 300} |300300200

（3）P{100 X 300}

300

100

1113

x300 1 200

edx e200| e2 e2

100200

P{X 100,100 X 300} P{X 100}P{100 X 300} (1 e)(e

1

2

12

e)

32

2.13解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为

P(X 10) 0.5e 0.5xdx e 0.5x

10

10

e 5

5

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则Y~B(282,e)。

3

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因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为 282 e

所求的概率为

5

1.9的泊松分布。

P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1)

1 e 1.9 1.9e 1.9 1 2.9e 1.9 0.56625

2.14解：(1)P(X 105) (

105 110

) ( 0.42) 1 (0.42) 12

1 0.6628 0.3372

(2)P(100 X 120) (

120 110100 110

) () 1212

(0.83) ( 0.83) 2 (0.83) 1 2 0.7967 1 0.5934

2.15解：设车门的最低高度应为a厘米，X~N(170,62)

P{X a} 1 P{X a} 0.01 a 170

P{X a} () 0.99

6a 170

2.33 6a 184厘米

2.16解：设Ai表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2

P{X 0} P{A1A2A3A4} P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)=

1817161512 2019181719

218171618217161818216181716232 2019181720191817201918172019181795

P{X 1} P{A1A2A3A4} P{A1A2A3A4} P{A1A2A3A4} P{A1A2A3A4}

4

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P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1

2.17解：X的可能取值为1,2,3。

12323 199595

2C46

因为P(X 1) 3 0.6；

10C5

P(X 2) 1 0.6 0.1 0.3

P(X 3)

11

0.1 3

C510

所以X的分布律为

Xx 1 0

0.61 x 2

F(x)

0.92 x 3 1x 3

2.18解：(1)P(X 2) F(2) ln2

P(0 X 3) F(3) F(0) 1 0 1

P(2 X 2.5) F(2.5) F(2) ln2.5 ln2 ln1.25

x 11 x e(2) f(x) F (x)

其它 0

2.19解：(1)由F( ) 1及limF(x) F(0)，得

x 0

a 1

，故a=1,b=-1.

a b 0

5

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x 2

(2) f(x) F (x) xe

0

2

x 0

x 0

(3) P( X ) F() F()

(1 e

ln162

) (1 e

ln42

)

1

0.25 4

2.20(1)

P{Y 0} P{X 0.2

2

P{Y 2} P{X 0} P{X } 0.3 0.4 0.7 P{Y 4 2} P{X

3

0.12

2

0.7

4 0.1

2

qi

(2)

0.2

P{Y 1} P{X 0} P{X } 0.3 0.4 0.7< …… 此处隐藏：5456字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……