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第二章 随机变量

2.1 P

1/36 1/18 1/12 1/9

5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36

2.2解：根据

P(X k) 1，得 ae

k 0

k 0

k

ae 1

1。 1，即 1

1 e

故 a e 1

2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同

P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=

020211112020

C20.70.3 C20.40.6 C20.70.3 C20.40.6 C20.70.3 C20.40.6 0.31240

1

1

2

2

(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

1102200220110.70.3 0.40.6 0.70.3 0.40.6 0.70.3 0.40.6 0.5628C2C2C2C2C2C2

1

2

2

1

2.4 解:（1）P{1≤X≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=

1232

1515155

(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=

121 15155

11k[1 ()]11111(3) 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=2 4 6 2k=lim k 222231

4

（2）P{X≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1

111 244

2.6解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则X~B(4,0.4)

1

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P(X 3) P(X 3) P(X 4) C40.430.61 C40.440.60 0.1792

(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则Y~B(5,0.4)

P(X 3) P(X 3) P(X 4) P(X 5) C50.430.62 C50.440.61 C50.450.60 0.31744

3

4

5

34

2.7 （1）X～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)

1.50 1.5 1.5

e=e P{X 0} 0!

（2）X～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)

20 221 2

P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 e e 1 3e 2

0!1!

,0.01)。2.8解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则X~B(180

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即P(X m) 0.99，也即

P(X m 1) 0.01

因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为 180 0.01 1.8的泊松分布。 查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。 故应至少配备6名设备维修人员。

2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为

10001

P(1000 X 1500)

1000x2x10003

1500

1500

设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则Y~B(5,)。所求的概率为

1

3

1280

P(Y 2) C52()2 ()3 5 0.329

333

2.10（1）

2

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假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.8 X 1} 12x(1 x)2dx (6x2 8x3 3x4)| 0.0272

0.8

0.8

11

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

P{0.9 X 1} 12x(1 x)2dx (6x2 8x3 3x4)| 0.0037

0.9

0.9

11

2.11解：要使方程

x

2

2Kx 2K 3 0有实根则使 (2K) 4(2K 3) 0

2

解得K的取值范围为[ , 1] [4, ],又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为

p

[ 1 ( 2) 4 3]1

4 ( 2)3

1

) 200

111

x100 1 200

200

edx e 1 e2 |0200

2.12解：X~P(λ)= P(

(1) P{X 100}

100

113

x 1 200

200

edx e e2 （2）P{X 300} |300300200

（3）P{100 X 300}

300

100

1113

x300 1 200

edx e200| e2 e2

100200

P{X 100,100 X 300} P{X 100}P{100 X 300} (1 e)(e

1

2

12

e)

32

2.13解：设每人每次打电话的时间为X，X~E(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为

P(X 10) 0.5e 0.5xdx e 0.5x

10

10

e 5

5

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则Y~B(282,e)。

3

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因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为 282 e

所求的概率为

5

1.9的泊松分布。

P(Y 2) 1 P(Y 0) P(Y 1)

1 e 1.9 1.9e 1.9 1 2.9e 1.9 0.56625

2.14解：(1)P(X 105) (

105 110

) ( 0.42) 1 (0.42) 12

1 0.6628 0.3372

(2)P(100 X 120) (

120 110100 110

) () 1212

(0.83) ( 0.83) 2 (0.83) 1 2 0.7967 1 0.5934

2.15解：设车门的最低高度应为a厘米，X~N(170,62)

P{X a} 1 P{X a} 0.01 a 170

P{X a} () 0.99

6a 170

2.33 6a 184厘米

2.16解：设Ai表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2

P{X 0} P{A1A2A3A4} P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)=

1817161512 2019181719

218171618217161818216181716232 2019181720191817201918172019181795

P{X 1} P{A1A2A3A4} P{A1A2A3A4} P{A1A2A3A4} P{A1A2A3A4}

4

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P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1

2.17解：X的可能取值为1,2,3。

12323 199595

2C46

因为P(X 1) 3 0.6；

10C5

P(X 2) 1 0.6 0.1 0.3

P(X 3)

11

0.1 3

C510

所以X的分布律为

Xx 1 0

0.61 x 2

F(x)

0.92 x 3 1x 3

2.18解：(1)P(X 2) F(2) ln2

P(0 X 3) F(3) F(0) 1 0 1

P(2 X 2.5) F(2.5) F(2) ln2.5 ln2 ln1.25

x 11 x e(2) f(x) F (x)

其它 0

2.19解：(1)由F( ) 1及limF(x) F(0)，得

x 0

a 1

，故a=1,b=-1.

a b 0

5

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x 2

(2) f(x) F (x) xe

0

2

x 0

x 0

(3) P( X ) F() F()

(1 e

ln162

) (1 e

ln42

)

1

0.25 4

2.20(1)

P{Y 0} P{X 0.2

2

P{Y 2} P{X 0} P{X } 0.3 0.4 0.7 P{Y 4 2} P{X

3

0.12

2

0.7

4 0.1

2

qi

(2)

0.2

P{Y 1} P{X 0} P{X } 0.3 0.4 0.7

3

P{Y 1} P{X P{X 0.2 0.1 0.3

22

Y

-1 0.7

1 0.3

qi

2.21（1）

当 1 x 1时，F(x) P{X 1} 0.3

当1 x 2时，F(x) P{X 1} P{X 1} 0.3 P{X 1} 0.8

6

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P{X 1} 0.8 0.3 0.5

当x 2时，F(x) P{X 1} P{X 1} P{X 2} 0.8 P{X 2} 1

P{X 2} 1 0.8 0.2

X P （2）

-1 0.3

1 0.5

2 0.2

P{Y 1} P{X 1} P{X 1} 0.3 0.5 0.8 P{Y 2} P{X 2} 0.2

Y

1 0.8

2 0.2

qi

2.22

X~N(0,1) fX(x)

x22

（1）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则

2

y 1x

y 1FY(y) P{Y y} P{2X 1 y} P{X } 22dx

2对FY(y)求关于y

的导数，得fY(y)

y 12

) 2(

(

y 1) 2

(y 1)2

8

y ( , )

（2）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则 当y 0时，FY(y) P{Y y} P{e X y} P{ } 0

7

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当y 0时，有

FY(y) P{Y y} P{e X y} P{ X lny} P{X lny}

对FY(y)求关于y的导数，得

(lny) ( lny)y>0 22 ( lny) fY(y)

y 0 0

2

2

ln

x22

dx

（3）设FY(y)，fY(y)分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则 当y 0时，FY(y) P{Y y} P{X2 y} P{ } 0

当y>0

时，FY(y) P{Y y} P{X2 y} P{X

x2

dx 2

对FY(y)求关于y

的导数，得

fY(y) 0

(lny) 2

2

y>0y 0

0 x 1

2.23 ∵X~N(0,1)∴fX(x)

其它 0

（1）

当2ln y 时

FY(y) P{Y y} P{2lnX y} P{lnX2 y} P{ } 0

8

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当

y 2ln 时

y

FY(y) P{Y y} P{2lnX y} P{lnX2 y} P{X2 ey} P{X

e2

1

yy y 2ln 1212 e (e)

对FY(y)求关于y的导数，得到fY(y) 2

02ln y

（2）

当y 1或 y -1时，FY(y) P{Y y} P{cosX y} P{ } 0

当 1 y 1时,FY(y) P{Y y} P{cosX y} P{X arccosy}

对FY(y)求关于y的导数，得到

1

arccosy

1 1 y 1 (arccosy)

fY(y)

0其它

（3）当y 1或 y 0时FY(y) P{Y y} P{sinX y} P{ } 0

当0 y 1时，

FY(y) P{Y y} P{sinX y} P{0 X arcsiny} P{ arcsiny X }

arcsiny

1

1

arcsiny

对FY(y)求关于y的导数，得到

1 10 y 1 arcsiny ( arcsiny) fY(y) 0其它

第三章 随机向量

9

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3.1 P{1<X 2,3<Y 5}=F(2,5)+F(1,3)--F(1,5)—F(2,3)= 3.2

3

128

3.4（1）a=

9

（2）

5 12

1

1 y

111121 y

(6 x y)dx [(6 y)x x]|dy （3）P{(X,Y) D} dy 0009902

11111111188 (y2 6y 5)dy (y3 3y2 5y)| 902296209327

3.5解：（1）

F(x,y)

y

x

2e

(2u v)

yx

dudv edv 2e 2udu ( e v|0)( e 2u|0) (1 e y)(1 e 2x)

y

v

x

,x>o,Y>0;F(x,y)=0,其他 （2）

P(Y X)

x

x

2e (2x y)dxdy 2e 2xdx e vdy 2e 2x( e y|0)dx

x

2 3x 21

2e 2x(1 e x)dx (2e 2x 2e 3x)dx ( e 2x| ) e| 1 0000333

2 a1r3.6解：P(x y a) d dr 222 00 (1 r2)2 (1 x y)x2 y2 a2

2

2

2

10

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d

2 a

a11111a22

d(1 r) 2 | 1 1 a2 1 a2

(1 r2)2 2(1 r2)0

3.7参见课本后面P227的答案

1

3.8 fX(x)

323y31x

f(x,y)dy xydy x|

022302

12

fy(y) f(x,y)dx

2

3232122

xydx yx| 3y2 2220

x0 x 2

3y20 y 1 ,

fX(x) 2 fY(y)

0其它 0,其它

3.9解：X的边缘概率密度函数fX(x)为： (1)当x 1或x 0时，f(x,y) 0，

1111

fY(y) 4.8y(2 x)dx 4.8y[2x x2]| 4.8y[1 2y y2]

yy222

1

fX(x) 0y 1或y 0

0 y 1

fX(x) 4.8y(2 x)dy 2.4y(2 x)| 2.4x2(2 x)

2

x

x

(2)当0 x 1时，fX(x)

x

4.8y(2 x)dy 2.4y2(2 x)| 2.4x2(2 x)

x

Y的边缘概率密度函数fY(y)为：

① 当y 1或y 0时，f(x,y) 0，fY(y) 0 ② 当0 y 1时，fY(y)

1y

4.8y(2 x)dx 4.8y[2x

12111

x]| 4.8y[1 2y y2]

y222

2.4y(3 4y y2)

11

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3.10 （1）参见课本后面P227的答案

x x1-x）0 x 1 x26dy0 x 1 6（

（2）fX(x) =

0其它其它

0

dx0 y

1

6y）0 y 1

fY(y) y=

其它其它 0 0

3.11参见课本后面P228的答案 3.12参见课本后面P228的答案 3.13（1）

0 x 1 220 x 1 22xy

(x )dy 2x x

fX(x) 0 33

其它其它 0 00 y 2 1y0 y 2 12xy (x )dx

fY(y) 0= 36 3

其它其它 0 0

对于0 y 2时，fY(y) 0，

2xy

x f(x,y)

所以fX|Y(x|y) 1y

fY(y) 3 6

0

对于0 x 1时，fX(x) 0

6x2+2xy

0 x 1 0 x 1

2 y 其它其它0

2xy0 y 2 3x y0 y 2 6x 2 x f(x,y) 2x所以fY|X(y|x) 2

fX(x) 2x 3

0 其它其它 0

12

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P{Y

111

|X fY|X(y|)dy 222

1

20120

113 y y13 7 2

05406 2

2

3.14

故P{

X x;Y y} P{X x}P{Y y}

i

i

i

i

所以X与Y不独立 3.15

i

i

i

i

由独立的条件P{

X x;Y y} P{X x}P{Y y}则

P{X 2;Y 2} P{X 2}P{Y 2} P{X 2;Y 3} P{X 2}P{Y 3}

P{X i} 1

13

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可以列出方程

11

( a b)( a) a 3911

( b)( a b) b 183

11

a b 1 33

a 0,b 0

解得a

21,b 99

0 x 2 x

3y20 y 1

3.16 解（1）在3.8中fX(x) fY(y)

0其它 其它 0

当0 x 2， 0 y 1时，fX(x)fY(y)

32

xy f(x,y) 2

当x 2或x 0时，当y 1或y 0时，fX(x)fY(y) 0 f(x,y) 所以， X与Y之间相互独立。

2.4x2(2 x)0 x 1

（2）在3.9中，fX(x)

其它 0

2.4y(3 4y y2)0 y 1

fY(y)

其它 0

当0 x 1，0 y 1时，

fX(x)fY(y)=2.4x2(2 x)2.4y(3 4y y2) 5.76x2(2 x)y(3 4y y2)

f(x,y) ，所以X与Y之间不相互独立。

3.17解：

14

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ff

x

(x)

f(x,y)dy

xe

x

1

(1 y)

1

xe 2

x

y

(y) f(x,y)dy

xe

x

(1 y)

2

1

(1 y)

2

f

x

(x) f(y) xe

y

x

1

(1 y)

2

f(x,y)

故X 与Y相互独立

3.18参见课本后面P228的答案

第四章 数字特征

4.1 解：E(X)

xp

ii

i

1

E(Y) yipi 0.9

i

∵甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又∵两台机床的总的产量相同 ∴乙机床生产的零件的质量较好。 4.2 解：X的所有可能取值为：3，4，5

P{X 3}

1

C

C

35

0.1

P{X 4} 3 0.3 3

52

2

4

P{X 5} 3 0.6

C

5

E(X) xipi 3 0.1 4 0.3 5 0.6 4.5

i

4.3参见课本230页参考答案

15

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4.4解：

P{X n} p(1 p)n 1,n 1,2,3......

E(X) xipi np(1 p)n 1

i

n 1

p1

[1 (1 p)]2p

4.6参考课本230页参考答案

4.7解：设途中遇到红灯次数为X，则X~B(3,0.4)

E(X) np 4 0.3 1.2

4.8解

E(X)

f(x)xdx

1(x 3000)xdx 15001500

3000

2

2

1500

2

1500

500+1000 1500

4.9参见课本后面230页参考答案 4.10参见课本后面231页参考答案 4.11 解:设均值为 ,方差为

2

,则X~N( , 2)根据题意有:

P(X 96) 1 P(X 96)

1 P(

X

96 72

)

1 (t) 2.3%

16