图木舒克市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

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班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 直线在平面外是指（ ）

A ．直线与平面没有公共点

B ．直线与平面相交

C ．直线与平面平行

D ．直线与平面最多只有一个公共点

2． 若函数y=f （x ）是y=3x 的反函数，则f （3）的值是（ ）

A ．0

B ．1

C ．

D ．3

3． i

是虚数单位， =（ ）

A ．1+2i

B ．﹣1﹣2i

C ．1﹣2i

D ．﹣1+2i

4． 从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8人，其累计频率为0.4，则这样的样本容量是（ ）

A ．20人

B ．40人

C ．70人

D ．80人

5． 在△ABC 中，C=60°，

AB=，AB

边上的高为，则AC+BC 等于（ ）

A

． B ．5 C ．3 D

．

6． 在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）1111]

A ．(0,]6π

B ．[,)6ππ C. (0,]3π D ．[,)3

ππ 7． 已知复数z 满足：zi=1+i （i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．﹣i B ．i C ．1

D ．﹣1 8． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A ．2,2x R x x ∃∈≤-

B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<

C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数

D ．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是 “//m n ”的必要不充分条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

9． 已知表示数列的前项和，若对任意的满足，且，则（ ）

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第 2 页，共 14 页 A ．

B ．

C ．

D ．

10．如图，函数f （x ）=Asin （2x+φ）（A ＞0，|φ|

＜

）的图象过点（0

，），则f （x ）的图象的一个对称中心是（ ）

A

．（﹣，0） B

．（﹣，0） C

．（，0） D

．（，0）

11．给出以下四个说法：

①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；

②

线性回归直线一定经过样本中心点

，；

③设随机变量ξ服从正态分布N （1，32）则p （ξ＜1）

=；

④对分类变量X 与Y 它们的随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“与X 与Y 有关系”的把握程度越小． 其中正确的说法的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

12．已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ） A ．1或﹣3 B ．﹣1或3 C ．1或3

D ．﹣1或﹣3 二、填空题

13．设有一组圆C k ：（x ﹣k+1）2+（y ﹣3k ）2=2k 4（k ∈N *）．下列四个命题：

①存在一条定直线与所有的圆均相切；

②存在一条定直线与所有的圆均相交；

③存在一条定直线与所有的圆均不相交；

④所有的圆均不经过原点．

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

14．若点p （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2

=9的弦MN 的中点，则弦所在直线方程为

15．若全集，集合

，则

16．已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________. 17．给出下列命题：

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①存在实数α

，使 ②函数是偶函数

③

是函数

的一条对称轴方程

④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sin α＜sin β

其中正确命题的序号是 ．

18．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm ）

．

三、解答题

19．设函数f （x ）=ae x （x+1）（其中e=2.71828…），g （x ）=x 2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线． （Ⅰ）求函数f （x ），g （x ）的解析式；

（Ⅱ）求函数f （x ）在[t ，t+1]（t ＞﹣3）上的最小值；

（Ⅲ）若对∀x ≥﹣2，kf （x ）≥g （x ）恒成立，求实数k 的取值范围．

20．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos

（）

=1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．

（1）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；

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第 4 页，共 14 页 （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．

21．已知x 2﹣y 2+2xyi=2i ，求实数x 、y 的值．

22．设函数f （x ）=1+（1+a ）x ﹣x 2﹣x 3，其中a ＞0． （Ⅰ）讨论f （x ）在其定义域上的单调性；

（Ⅱ）当x ∈时，求f （x ）取得最大值和最小值时的x 的值．

23．本小题满分12分 已知数列{}n a 中，123,5a a ==，其前n 项和n S 满足)3(22112≥+=+---n S S S n n n n . Ⅰ求数列{}n a 的通项公式n a ;

Ⅱ 若22256log (

)1

n n b a =-N *n ∈，设数列{}n b 的前n 的和为n S ，当n 为何值时，n S 有最大值，并求最大值.

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24．在平面直角坐标系XOY中，圆C：（x﹣a）2+y2=a2，圆心为C，圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2．

（1）求圆C的标准方程；

（2）直线l2与l1垂直，且与圆C交于不同两点A、B，若S△ABC=2，求直线l2的方程．

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第 6 页，共 14 页 图木舒克市三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，

∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．

故选D ．

2． 【答案】B

【解析】解：∵指数函数的反函数是对数函数，

∴函数y=3x 的反函数为y=f （x ）=log 3x ，

所以f （9）=log 33=1．

故选：B ．

【点评】本题给出f （x ）是函数y=3x （x ∈R ）的反函数，求f （3）的值，着重考查了反函数的定义及其性质，属于基础题．

3． 【答案】D

【解析】

解：

， 故选D ．

【点评】本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题．

4． 【答案】A

【解析】解：由已知中的频率分布直方图可得时间不超过70分的累计频率的频率为0.4， 则这样的样本容量是

n=

=20． 故选A ．

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握频率的两个公式频率=矩形高×组距

=

是解答的关键．

5． 【答案】D

【解析】解：由题意可知三角形的面积为

S=

=

=AC •BCsin60°，

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第 7 页，共 14 页 ∴AC •

BC=．由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC •BCcos60°=（AC+BC ）2﹣3AC •BC ，

∴（AC+BC ）2

﹣3AC •BC=3， ∴（AC+BC ）2=11．

∴

AC+BC=

故选：D

【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．

6． 【答案】C

【解析

】

考点：三角形中正余弦定理的运用.

7． 【答案】D

【解析】解：由zi=1+i

，得

， ∴z 的虚部为﹣1．

故选：D ．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

8． 【答案】

D

9． 【答案】C

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第 8 页，共 14 页 【解析】

令得，所以，即，所以是以1为公差的等差数列，首项为，所以，故选C

答案：C

10．【答案】 B

【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0

，

）， 可得：2sin φ=

，即sin φ

=，由于|φ|

＜， 解得：φ

=，

即有：f （x ）=2sin （

2x+）．

由

2x+=k π，k ∈Z 可解得：

x=，k ∈Z ，

故f （x

）的图象的对称中心是：（，0），k ∈Z

当k=0时，f （x

）的图象的对称中心是：（

，0）， 故选：B ．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．

11．【答案】B

【解析】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错；

②

线性回归直线一定经过样本中心点（

，），故②正确；

③设随机变量ξ服从正态分布N （1，32）则p （ξ＜1）

=，正确；

④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故④不正确．

故选：B ．

【点评】本题考查统计的基础知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X ，Y 的关系，属于基础题．

12．【答案】A

【解析】解：两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，

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所以

=

≠，

解得 a=﹣3，或a=1．

故选：A ．

二、填空题

13．【答案】 ②④

【解析】解：根据题意得：圆心（k ﹣1，3k ），

圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；

考虑两圆的位置关系，

圆k ：圆心（k ﹣1，3k

），半径为

k 2， 圆k+1：圆心（k ﹣1+1，3（k+1）），即（k ，3k+3

），半径为（k+1）2， 两圆的圆心距

d=

=，

两圆的半径之差R ﹣

r=（k+1）2

﹣k 2

=2

k+， 任取k=1或2时，（R ﹣r ＞d ），C k 含于C k+1之中，选项①错误；

若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；

将（0，0）带入圆的方程，则有（﹣k+1）2+9k 2=2k 4，即10k 2﹣2k+1=2k 4（k ∈N*），

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k 使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．

则真命题的代号是②④．

故答案为：②④

【点评】本题是一道综合题，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题．

14．【答案】：2x ﹣y ﹣1=0

解：∵P （1，1）为圆（x ﹣3）2+y 2=9的弦MN 的中点，

∴圆心与点P 确定的直线斜率为

=﹣， ∴弦MN 所在直线的斜率为2，

则弦MN 所在直线的方程为y ﹣1=2（x ﹣1），即2x ﹣y ﹣1=0．

故答案为：2x ﹣y ﹣1=0

15．【答案】{|0＜＜1｝

【解析】∵

，∴{|0＜＜1｝。

16．【答案】()2245f x x x =-+ 【解析】

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试题分析：由题意得，令1t x =-，则1x t =+，则()222(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+，所以函数()f x 的解析式为()2245f x x x =-+. 考点：函数的解析式. 17．【答案】 ②③ ．

【解析】解：①∵sin αcos α

=sin2α∈

[

，]

，∵

＞，∴存在实数α

，使

错误，故①

错误，

②

函数=cosx 是偶函数，故②正确，

③

当

时，

=cos （2

×

+

）=cos π=﹣1

是函数的最小值，则

是函数

的一条对称轴方程，故③正确，

④当α

=

，β

=

，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sin α=sin β，即sin α＜sin β不成立，故④错误，

故答案为：②③．

【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．

18．【答案】

cm 3 ．

【解析】解：如图所示，

由三视图可知：

该几何体为三棱锥P ﹣ABC ．

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该几何体可以看成是两个底面均为△PCD ，高分别为AD 和BD 的棱锥形成的组合体，

由几何体的俯视图可得：△PCD 的面积

S=×4×4=8cm 2

，

由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm ， 故几何体的体积

V=×8×

4=cm 3，

故答案为：

cm 3

【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ） f'（x ）=ae x

（x+2），g'（x ）=2x+b ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由题意，两函数在x=0处有相同的切线． ∴f'（0）=2a ，g'（0）=b ，

∴2a=b ，f （0）=a=g （0）=2，∴a=2，b=4，

∴f （x ）=2e x （x+1），g （x ）=x 2

+4x+2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（Ⅱ） f'（x ）=2e x

（x+2），由f'（x ）＞0得x ＞﹣2，由f'（x ）＜0得x ＜﹣2，

∴f （x ）在（﹣2，+∞）单调递增，在（﹣∞，﹣2）单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∵t ＞﹣3，∴t+1＞﹣2

①当﹣3＜t ＜﹣2时，f （x ）在[t ，﹣2]单调递减，[﹣2，t+1]单调递增，

∴

．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

②当t ≥﹣2时，f （x ）在[t ，t+1]单调递增，

∴；

∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣

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（Ⅲ）令F （x ）=kf （x ）﹣g （x ）=2ke x

（x+1）﹣x 2

﹣4x ﹣2，

由题意当x ≥﹣2，F （x ）min ≥0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∵∀x ≥﹣2，kf （x ）≥g （x ）恒成立，∴F （0）=2k ﹣2≥0，∴k ≥1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

F'（x ）=2ke x （x+1）+2ke x ﹣2x ﹣4=2（x+2）（ke x ﹣1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵x ≥﹣2，由F'（x ）＞0

得，

∴

；由F'（x ）＜0

得

∴F （x ）

在单调递减，

在

单调递增﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣ ①

当

，即k ＞e 2

时，F （x ）在[﹣2，+∞

）单调递增，

，不满足F （x ）min ≥0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣ ②

当，即k=e 2时，由①知，

，满足F （x ）min ≥0．﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣ ③

当

，即1≤k ＜e 2

时，F （x

）在

单调递减，在

单调递增

，满足F （x ）min ≥0．

综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2

]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ

）由

从而C 的直角坐标方程为

即

θ=0时，ρ=2，所以M （2，0）

（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0）

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N 点的直角坐标为

所以P 点的直角坐标为，则P 点的极坐标为，

所以直线OP 的极坐标方程为

，ρ∈（﹣∞，+∞）

【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．

21

．【答案】

【解析】解：由复数相等的条件，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

解得

或

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8

分）

【点评】本题考查复数相等的条件，以及方程思想，属于基础题．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f

（x ）的定义域为（﹣∞

，+∞），f ′（x ）

=1+a ﹣2x

﹣3x 2

，

由f

′

（x ）=0，得x 1=，x 2=，x 1＜x 2， ∴由f ′（x

）＜0得x ＜，x ＞；

由f ′（x ）＞0得＜x ＜；

故f （x ）在（﹣∞，）和（

，+∞）单调递减，

在（，

）上单调递增；

（Ⅱ）∵a ＞0，∴x

1＜0，x 2＞0，∵x ∈，当

时，即a ≥4

①当a ≥4时，x 2≥1，由（Ⅰ）知，f （x ）在上单调递增，∴f （x ）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值． ②当0＜a ＜4时，x 2＜1，由（Ⅰ）知，f （x ）在单调递增，在上单调递减， 因此f （x ）在x=x 2=

处取得最大值，又f （0）=1，f （1）=a ，

∴当0＜a ＜1时，f （x ）在x=1处取得最小值； 当a=1时，f （x ）在x=0和x=1处取得最小值； 当1＜a ＜4时，f （x ）在x=0处取得最小值．

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第 14 页，共 14 页 23．【答案】

【解析】Ⅰ由题意知()321211≥+-=-----n S S S S n n n n n , 即()3211≥+=--n a a n n n 22311)(......)()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--

()3122122...2252...22221221≥+=++++++=++++=----n n n n n n 检验知n =1, 2时，结论也成立，故a n =2n +1． Ⅱ 由8

82222222562log ()log log 28212

n n n n b n a -====-- N *n ∈ 法一: 当13n ≤≤时，820n b n =->；当4n =时，820n b n =-=； 当5n ≥时，820n b n =-< 故43==n n 或时，n S 达最大值，

1243==S S . 法二：可利用等差数列的求和公式求解

24．【答案】

【解析】解：（1）由圆C 与直线l 1：y=﹣x 的一个交点的横坐标为2， 可知交点坐标为（2，﹣2），

∴（2﹣a ）2+（﹣2）2=a 2，解得：a=2，

所以圆的标准方程为：（x ﹣2）2+y 2=4， （2）由（1）可知圆C 的圆心C 的坐标为（2，0） 由直线l 2与直线l 1垂直，直线l 1：y=﹣x 可设直线l 2：y=x+m ， 则圆心C 到AB 的距离

d=

，

|AB|=2

=2

所以S △ABC

=|AB|•

d=•

2

•=2 令t=（m+2）2，化简可得﹣2t 2+16t ﹣32=﹣2（t ﹣4）2=0， 解得t=（m+2）2=4，

所以m=0，或m=﹣4

∴直线l 2的方程为y=x 或y=x ﹣4．