南华大学高数练习册第十二章__无穷级数答案2

南华大学高数练习册第十二章 无穷级数

第三节 幂级数

1．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：

x *(3) n! ； n n 1

a n -1

解： limn 1 lim e，故R e, 在x e处，级数发

n an n 1 n

散，故原级数收敛域为 -e，e

n

n

xn

(1) n

n 3n 1

。

a n 11

解： limn 1 lim ，故R 3，在x 3处，级数发散，

n an n 133 n

在x -3处，级数收敛，故原级数收敛域为 -3,3 。 (2)

2．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数： (1)

nx

n 1

n 2

；

解：设s x

nx

n 1

n 2

x

3

nx

n 1

n-1

，设s1 x

nx

n 1

n 1

，

x

； n 12n 1

2n 1

解：级数缺少偶次幂项，根据比值判别法求收敛半径，

x

s1 x dx xn

n 1

x

， 1 x

un 1 2n-1 2

lim lim x x2，所以当x<1时，级数收敛，当x>1 n un 2n 1 n，1 时，级数发散，故R 1，在x 1处，级数发散，故原级数收敛域为 -1

1 x

故s1 x ， 2

1 x 1 x

故s x

nx

n 1

n 2

x

3

nx

n 1

n-1

x3

1-x2

，x<1

x2n 2

(2) ；

n 02n 1

第四节 函数展开成幂级数

1．将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：

：设s x x2n 2 x2n 1

解x2n 1n 12n 1 x

n 1

2n 1，设s1 x n 12n 1s1

x x2n

1

n 1

1 x

2

故s1 x

x

111 x

1-x

2

2ln1-x，

x2n 2

x2n 1故s x x1 x

n 12n 1 x n 1

2n 1 2ln

1-x， x<1

(1) f (x) = ln(2+x)；

n

x 解：ln 2 x ln2 ln x

n 2 1 2 ln2 1 n 0

n 1(2) f x 1

2 x； 1

解：f x 1

x

n1-x 2 ， 2 x 2

n 0 2 2

*2．将f x 1

x2 3x 2

展开成(x+4)的幂级数．

解：

f x

11x 1 x 2 13 x 4 1 1 3 2

1 x 4

2

1 x 4n

n

3

n 0 3 12 n 0 x 4

2

3n 1 2n 1 x 4

n

n 0

6n 1x 4 2

2 x 2，

第七节 一般周期函数的傅里叶级数

1. 填空题：

（1）设f (x) 是以2为周期的函数，其表达式为f(x) 2, 1 x 0,

x3,0 x 1

则f (x)的傅里叶级数在x=1处收敛于 3

2

（2）设f (x)是可积函数，且在 , 上恒有f(x ) f(x),

则a2n 1 ___0____,b2n 1 _____0__..

2. 将f (x) = 2+|x| (-1≤x≤1) 展开成以2为周期的傅里叶级数。

解：f(x)在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f(x)是偶函数，故bn=0,(n=1,2,…)

a11

0 1

f x dx 2 0

2 x dx 5

a11

n 1

f x cosnxdx 2 0

2 x cosnxdx

n 2,4,6

0,

4

,n 1,3,5,

nπ 2所以f x 54

n 1 πx

2 π

2

cos 2n 1

2n 1

2

，x∈[-1,1]

取x=0得，

1

n 1

2n 1

π2

2

8

，故

1 n 1n2 1

11 1π2

1 2 n 1 2n 2 n 1 2n 4 n 1n2 8

所以

1 π

n 1

n26*3. 将函数f (x) = x-1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦级数. 解：将f(x)作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续, 则有bn=0 (n=1,2,3,…)

a12

20

2

2f x dx 0 x 1 dx 0

第十二章 无穷级数综合练习

一、填空

1 设 un收敛于s，则 un收敛于__s u1 u2 u3_________

n 1

n 4

2

xn

n的收敛域[ 3,3) n 1

n3是

3 若 1 n 1

un条件收敛，则 un必定

发散

n 1

n 1

4 13 x

2关于x的幂级数展开式是

1 nn 1

n 0

3xn 3 x 3

二、选择

1 limn

sn存在是 un收敛的 c

条件

n 1 a 充分非必要 b 必要非充分 c 充分且必要 d 无关 2 部分和数列有界的正项级数收敛的 c 条件

a 充分非必要 b 必要非充分 c 充分且必要 d 无关

3 lim

a

n 1n a 1

,则 a2nnx a n

4n 0(a)收敛, b 当x1

4

发散,

c 当x4绝对收敛, d 当x1

2

发散

4

1

n

2n在 ， 的和函数是 b

n 0

n!

x a ex2

, b e x2

, c ex2

, d e x2

.

三、解答

1 讨论 1

n

1

n 1

n

p 解：p 1时，

1

p 原级数绝对收敛 n 1

n

0 p 1时， 1

n1

n 1np 1 n 1

np

收敛， 原级数条件收敛

p 0时，lim1

n n

p 0，故级数发散。

求 3n2 5nxn

的收敛域 n 1

n

n 1

n 1n 1

an 13 5

nn 3

5 1

a

nn 1

3n 5

n n 1 1 3 n

1 5 5 5 5

n n R 15 ，在x 15处， 3n 5n 1 n 1n 5 1 3 1

发散 n 1 n 5 n 在x 1 3n 5nn 1 n nn5处， n 1n 1 n 1

5 3 1 n 1 n 5 n 收敛

收敛域为[ 1155

）

3 将f

x ln x展成x的幂级数

解：f x

1 x

2

1 x

2

12

1 3 2n 1

1 2 2 2 n! x2

n

n 1

1 1

n

2n 1 !!x2nn 1

2n!!

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