暨南大学2010年高等代数考研试题

暨南大学 数学分析 高等代数 考研真题

2010年招收攻读硕士学位年招收攻读硕士学位研究生攻读硕士学位研究生入学考试试题研究生入学考试试题（入学考试试题（副卷）副卷）

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学科、专业名称：数学学科、基础数学 应用数学 概率论与数理统计等专业

研究方向：各专业研究方向

暨南大学 数学分析 高等代数 考研真题

二（15分）设p(x)是数域P上的一个不可约多项式，若p(x)|（f(x)+g(x)），且

p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)且p(x)|g(x)。其中f(x)，g(x)是数域P上的多项式。

λx+9y+3z=2

三（15分）线性方程组 x+(λ 1)y=λ当λ为何值时方程组有：

3x y+z= 4

1 唯一解，并求其解；

2 无穷多解，给出解的表达式； 3 无解。

2 20

四（15分）设A= 21 2

0 20

1 求A的全部特征值；

2 对A的每个特征值λ，求A的属于特征值λ的特征子空间的维数和一组基； 3 求正交矩阵T，使T'AT是对角矩阵，并给出此对角矩阵。

五（15分）设V是数域P上的一个n维线性空间(n≥1)，若有线性变换σ与向量ξ使得

σn 1ξ≠0，但σnξ=0。

1 证明ξ,σξ, ,σn 1ξ线性无关；

0

1

2 证明σ在某基下的矩阵是A= 0

0

2

0 00

0 00 1 00

0 10

六（15分）1 设A∈Rm×n，证明秩(A'A)=秩(A)=秩(AA')。

2 设A是实对称矩阵，A=0，证明A=0。

七（15分）已知矩阵A是数域P上的一个n级方阵，如果存在P上的一个n级可逆方阵X，

010

使得X 1AX为对角矩阵，那么称A在P上可对角化。分别判断A=00 1能否在实数

23 1

域上和复数域上可对角化，并给出理由。

八（16分）用R[x]4表示实数域R上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得空间，内积为(f,g)=以及它上的一个基。

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∫

1

⊥

f(x)g(x)dx。设W是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求W