高中数学,必修5,知识点总结

高中数学必修5知识点

第一章：解三角形

1、正弦定理：在 C中，a、b、c分别为角 、 、C的对边，R为 C的外接圆的半径，则有

abc

2R． sin sin sinC

2、正弦定理的变形公式：①a 2Rsin ，b 2Rsin ，c 2RsinC；

②sin

abc，sin ，sinC ；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的2R2R2R

等式中）

③a:b:c sin :sin :sinC；

a b cabc

．

sin sin sinCsin sin sinC

111

3、三角形面积公式：S C bcsin absinC acsin ．

222

④

4、余 定理：在 C中，有a2 b2 c2 2bccos ，b2 a2 c2 2accos ，

c2 a2 b2 2abcosC．

b2 c2 a2a2 c2 b2a2 b2 c2

5、余弦定理的推论：cos ，cos ，cosC ．

2bc2ac2ab

6、设a、b、c是 C的角 、 、C的对边，则：①若a2 b2 c2，则C 90 为直角三角形；

②若a2 b2 c2，则C 90 为锐角三角形；③若a2 b2 c2，则C 90 为钝角三角形．

第二章：数列

1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列．

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5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列．

8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．

9、数列的通项公式：表示数列 an 的第n项与序号n之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项an与它的前一项an 1（或前几项）间的关系的公式．

11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这

个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 12、由三个数a， ，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则 称为a与

b的等差中项．若b

a c

，则称b为a与c的等差中项． 2

13、若等差数列 an 的首项是a1，公差是d，则an a1 n 1 d．

通项公式的变形：①an am n m d；②a1 an n 1 d；③d

n

an a1a a

1；⑤d nm． dn m

an a1

；④n 1

14、若 an 是等差数列，且m n p q（m、n、p、q *），则am an ap aq；若

，则2an ap aq；下角标成等差 an 是等差数列，且2n p q（n、p、q *）

数列的项仍是等差数列；连续m项和构成的数列成等差数列。 15、等差数列的前n项和的公式：①Sn

n a1 an 2

；②Sn na1

n n 1 2

d．

16、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2n n * ，则S2n n an an 1 ，且

S偶 S奇 nd，

S奇S偶

an

．②若项数为2n 1 n * ，则S2n 1 2n 1 an，且an 1

S奇 S偶 an，

S奇S偶

n

（其中S奇 nan，S偶 n 1 an）． n 1

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个

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数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．

18、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比

中项．若G2 ab，则称G为a与b的等比中项． 19、若等比数列 an 的首项是a1，公比是q，则an a1qn 1． 20、通项公式的变形：①an amqn m；②a1 anq n 1 ；③qn 1

ana

；④qn m n． a1am

21、若 an 是等比数列，且m n p q（m、n、p、q *），则am an ap aq；若 an

是等比数列，且2n p q（n、p、q *），则an2 ap aq；下角标成等差数列的项仍是等比数列；连续m项和构成的数列成等比数列。

na1 q 1

22、等比数列 an 的前n项和的公式：Sn a1 1 qn a aq．

1n q 1

1 q1 q

q 1时，Sn

a1a

1qn，即常数项与qn项系数互为相反数。 1 q1 q

S偶S奇

q．

23、等比数列的前n项和的性质：①若项数为2n n * ，则

②Sn m Sn qn Sm． ③Sn，S2n Sn，S3n S2n成等比数列．

Sn Sn 1 n 2 24、an与Sn的关系：an

n 1 S1

一些方法：

一、求通项公式的方法：

1、由数列的前几项求通项公式：待定系数法

①若相邻两项相减后为同一个常数设为an kn b，列两个方程求解； ②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为an an2 bn c，列三个方程求解； ③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为an aqn b，q为相除后的常数，

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列两个方程求解； 2、由递推公式求通项公式：

①若化简后为an 1 an d形式，可用等差数列的通项公式代入求解； ②若化简后为an 1 an f(n),形式，可用叠加法求解；

③若化简后为an 1 an q形式，可用等比数列的通项公式代入求解； ④若化简后为an 1 kan b形式，则可化为(an 1 x) k(an x)，从而新数列{an x}是等比数列，用等比数列求解{an x}的通项公式，再反过来求原来那个。（其中x是用待定系数法来求得） 3、由求和公式求通项公式：

①a1 S1 ② an Sn Sn 1 ③检验a1是否满足an，若满足则为an，不满足用分段函数写。

4、其他

（1）an an 1 f n 形式，f n 便于求和，方法：迭加；

例如：an an 1 n 1 有：an an 1 n 1

a2 a1 3a3 a2 4

an an 1 n 1

各式相加得an a1 3 4 n 1 a1

n 4 n 1

2

（2）an an 1 anan 1形式，同除以anan 1，构造倒数为等差数列；

例如：an an 1 2anan 1，则

1 an an 111

2 ，即 为以-2为公差的等差数anan 1an 1an an

列。

（3）an qan 1 m形式，q 1，方法：构造：an x q an 1 x 为等比数列；

例如：an 2an 1 2，通过待定系数法求得：an 2 2 an 1 2 ，即 an 2 等比，公比为2。

（4）an qan 1 pn r形式：构造：an xn y q an 1 x n 1 y 为等比数列； （5）an qan 1 pn形式，同除pn，转化为上面的几种情况进行构造；

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因为an qan 1 pn，则

anqan 1q

，若 1 1转化为（1）的方法，若不为1，nn 1

pppp

转化为（3）的方法

二、等差数列的求和最值问题：（二次函数的配方法；通项公式求临界项法）

ak 0 a1 0

①若 ，则Sn有最大值，当n=k时取到的最大值k满足

a 0d 0 k 1

a 0 a 0

②若 1，则Sn有最小值，当n=k时取到的最大值k满足 k

a 0 d 0 k 1

三、数列求和的方法：

①叠加法：倒序相加，具备等差数列的相关特点的，倒序之后和为定值； ②错位相减法：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式，如：

an 2n 1 3n；

③分式时拆项累加相约法：适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式。如：an

11111 11

，an 等；nn 1nn 12n 12n 12 2n 12n 1

④一项内含有多部分的拆开分别求和法：适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分，如：an 2n n 1等； 四、综合性问题中

①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为a d和a d类型，这样可以相加约掉，相乘为平方差；

②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为aq和类型，这样可以相乘约掉。

第三章：不等式

1、a b 0 a b；a b 0 a b；a b 0 a b．

比较两个数的大小可以用相减法；相除法；平方法；开方法；倒数法等等。

a

q

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2、不等式的性质： ①a b b a；②a b,b c a c；③a b a c b c；

④a b,c 0 ac bc，a b,c 0 ac bc；⑤a b,c d a c b d； ⑥a b 0,c d 0 ac bd；⑦a b 0 an bn n ,n 1 ；

⑧a b 0 n ,n 1 ．

3、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： 判别式 b2 4ac 二次函数y ax2 bx c

a 0 的图象

有两个相异实

有两个相等实数根

数根

x1,2 b

x1 x2 2a

x1 x2

没有实数根

0

0

0

一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根 一元二次不等式的解集

ax2 bx c 0 a 0 ax2 bx c 0 a 0

xx x或x x

1

2

b xx

2a

R

xx

1

x x2

5、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． 6、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

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7、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对 x,y ，所有这样的有序数对 x,y 构成的集合．

8、在平面直角坐标系中，已知直线 x y C 0，坐标平面内的点 x0,y0 ．

①若 0， x0 y0 C 0，则点 x0,y0 在直线 x y C 0的上方． ②若 0， x0 y0 C 0，则点 x0,y0 在直线 x y C 0的下方．

9、在平面直角坐标系中，已知直线 x y C 0．

①若 0，则 x y C 0表示直线 x y C 0上方的区域； x y C 0表示直线 x y C 0下方的区域．

②若 0，则 x y C 0表示直线 x y C 0下方的区域； x y C 0表示直线 x y C 0上方的区域．

10、线性约束条件：由x，y的不等式（或方程）组成的不等式组，是x，y的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式． 线性目标函数：目标函数为x，y的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解 x,y ． 可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． 11、设a、b是两个正数，则

b的几何平均数．

a b

称为正数a、b

a、2

12、均值不等式定理： 若a 0，b

0，则a b

，即13、常用的基本不等式：

①a2 b2 2ab a,b R ；

a b

． 2

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a2 b2

②ab a,b R ；

2

a2 b2 a b a b

③ab a 0,b 0 ；④ a,b R ． 222

14、极值定理：设x、y都为正数，则有

2

2

s2

⑴若x y s（和为定值），则当x y时，积xy取得最大值．

⑵若xy p（积为定值），则当x y时，和x y取得最小值