第5章-大数定律与中心极限定理答案

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第五章 《中心极限定理》测验题

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一、单项选择题（每题2分，共10分）

1. 如果离散型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从参数为 0 的泊松分布，则当n充分大时，离散型随机变量Y （ ）近似服从标准正态分布.

X

A)

i 1

n

i

B)

X

n

i

C)

X

i 1

n

i

n

D)

X

n

i

n

n

解: 因为 E(Xi) D(Xi) i 1,2, ,n ,

又 Sn

由李雅普诺夫中心极限定理:

12

X

i 1

n

i

X

n

i

n

N(0,1)

Sn

故选(D)

2. 如果离散型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从0-1分布B 1,p ，则当n充分大时，离散型随机变量X

X

i 1

n

i

近似服从（ ）分布.

A) E B) N 0,1 C) Nnp,np 1 p D) B 1,p 解 因为 E Xi p, i 1,2, ,n ,D Xi 1p 1 p p 1 p , i 1,2, ,n 所以E X E(X1) E(X2) E(Xn) np,D X np 1 p . 故离散型随机变量X

故选(C)

3. 如果连续型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从参数为 0 的指数分布,则下列正确的是（ ）.

X

i 1

n

i

近似服从正态分布Nnp,np 1 p .

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n n n X X n i i i 1A) limP x x ; B)

limP x x ;

n n

2 1 n n X X n i i i 1i 1

C) limP x x ; D) limP x x ;

n n n

2

其中 x 为标准正态分布函数. 解 由李雅普诺夫中心极限定理:

E(Xi)

1

,D(Xi)

1

2

i 1,2,

,n ,

1

2

11 1

Sn 2 2

2

nn1 1

Xi n Xi Xi n

i 1 i 1 N(0,1)

Snn

故选(B)

4. 设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为 0.5,则根据切贝谢夫不等式估计PX Y 6 （ ）. A)

1111

B) C) D) 461216

解| E X Y 2 2 0

(Y, ) XY D X Y D X D Y 2cov X,Y ,

covX

1 4 2 0.5 1 2 3.

由切贝谢夫不等式得 PX Y E X Y 6 故选(C)

5. 若随机变量X B 1000,0.01 , 则P 4 X 16 （ ）. A) 0.925 B) 0.825 C) 0.9 D) 0.725 解| 因为 E X 1000 0.01 10,D X npq 10 0.99 9.9

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D X Y 31

.

623612

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由切贝谢夫不等式得

P 4 X 16 P X 10 6

1 P X 10 6 1

故选(D)

D X 9.9

1 1 0.275 0.725.

3662

二、填空题（每空2分，共10分）

1. 已知离散型随机变量X服从参数为 3的泊松分布，则利用切贝谢夫不等式估计概率

P X 3 5 解 因为X P m

所以E X D X 3

由切贝谢夫不等式PX E X 5

D X 3

. 5225

2

2. 已知随机变量X存在数学期望E X 和方差D X ，且数学期望E X 10，EX 109，利用

切贝谢夫不等式估计概率PX 10 6 解 因为 E X 10,D X EX

E X

2

2

109 100 9

由切贝谢夫不等式PX 10 6

D X 91

. 2

6364

3. 已知随机变量X的方差为4，则由切贝谢夫不等式估计概率PX E X 3 解 由切贝谢夫不等式PX E X 3

4. 9

4. 若随机变量X B n,p ,则当n充分大时,X 近似服从正态分布N 解 因为 E X np,D X np 1 p . 三、计算或证明题题（每题10分，共80分）

1. 如果随机变量X存在数学期望E X 和方差D X ，则对于任意常数 0，都有切贝谢夫不等式：

P X EX

DX

2

（证明当X为连续型随机变量时的情况）

证明 设连续性随机变量X的概率密度函数为 x ,则

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P X EX

X EX

x dx

1

X EX

X EX

2

2

2

x dx

D X

2

X EX x dx

2

.

2. 投掷一枚均匀硬币1000次，试利用切贝谢夫不等式估计出现正面次数在450次~550次之间的概率. 解 设随机变量X表示1000次试验中出现正面朝上的次数, 由于

X B 1000,0.5 ,所以E X 500,D X 250;

由切贝谢夫不等式

P 450 X 550 P X 500 50 1

D X 250

1 0.9. 2

250050

3. 已知连续型随机变量X服从区间 1,3 的均匀分布，试利用切贝谢夫不等式估计事件X 4发生的概率.

1 3 3 ( 1) 4;

1,D X 解 由于X U 1,3 , 所以E X 2123

由切贝谢夫不等式

2

4

D(X)11

P X 1 4 1 2 1 0.9167.

41216

4. 对敌人的防御工事进行80次轰炸，每次轰炸命中目标炸弹数目的数学期望为2，方差为0.8，且各次轰炸相互独立，求在80次轰炸中有150颗~170颗炸弹命中目标的概率.

解 设随机变量X表示80次轰炸中炸弹命中目标的次数, Xi表示第i次轰炸命中目标的次数, 则E Xi 2,,D Xi 0.8;由于X

X

i 1

80

i

所以E X 160,,D X 80 0.8 64; 由中心极限定理得

P 150 X 170

170 160 150 160

88

1.25 1.25 2 1.25 1 2 0.8944 1 0.7888.

5. 袋装食糖用机器装袋，每袋食糖净重的数学期望为100克，方差为4克，一盒内装100袋，求一盒食糖

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净重大于10,060克的 …… 此处隐藏：1631字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……