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第三讲 基本初等函数

知识要点：

（表一）

（表二）

指数与指数函数

⑴a的n次方根的定义：一般地，如果x a，那么x叫做a的n次方根，其中n 1,n N* 当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根是负数表示为数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根。 0的任何次方根都是0。 式子

n

；当n为偶

n叫做根指数，a叫做被开方数。

⑵n次方根的性质：①当n为奇数时，

a；当n为偶数时，

a,a 0,

a

a,a 0;

②

a

n

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⑶分指数的意义：a

mn

a 0,m,n N,n 1 ；a

mn

1a

mn

a 0,m,n N,n 1

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义。

⑶有理数指数幂的运算性质： a 0,b 0,r,s Q ①aa a

r

s

r s

rr

②(ar)s ars ③ ab ab

r

⑷指数函数及其性质

①一般地，函数y ax a 0,且a 1 叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R。 ②通过描点我们得到指数函数在底数取不同范围时的大致图象，现将函数性质总结如下：

一点建议：学好函数一定要对函数的各个性质非常了解，死记硬背是不能达到掌握的

要求的，那么在这里给同学们一点建议，准确掌握函数的基本图象，从图象中挖掘函数的相关性质。

对数与对数函数

x

⑴一般地，如果a N a 0,且a 1 ，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：

x logaN其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

根据对数的定义我们可以得到对数与指数间的关系：

当a 0,a 1时,ax N x logaN

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这时我们可以看出负数和零没有指数，且loga1 0,logaa 1。 ⑵对数的运算性质：如果a 0,且a 1,M 0,N 0，那么 ①loga M N logaM logaN; ②loga③loga

M

logaM logaN; N

Mn nlogaM

⑶指数函数及其性质y logax

①一般地，函数y logax a 0,且a 1 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域

0, 。

指数函数与对数函数是高中阶段的两个很重要的函数，在高考中历来都有题目出现对

这两个的函数性质要做到掌握精准，运用熟练。

高考要求: 1）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概

念、图象和运算性质。

2）理解对数的概念，掌握对数的运算性质和对数函数的性质和图象。

3）能够利用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。

例题讲解

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夯实基础 一、选择题

22

1）集合A yy x 2x 3,x R,B yy 2x 3x 1,x R则A B等于（

B ）

1

A. 1,5 , 2,3 B. yy 2 C. y y 2

D.

yy 1

8

2）若函数f

x

ax2

3ax 4

的定义域为R，则a的取值范围为（A. ,16 9 B. 16 16

9, C. 0,9

二、计算

1）

3

1 (ab3 ab 2

)5

19 a2

b

10

2）

x y2112

x3

x3

y3

y3

112112=

(x3

y3

)(x3 x3y3 y3

)

2112x3

x3y3

y

3

11

=x3 y

3

三、比较大小

8 C ） D. 16 0,9

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1）已知1.4 1.4,则m___n 2）m n，则m___n 3）已知0.6m 0.6n,则m___n 4）1.72.5___1.73 5）0.8 0.3___0.8 0.2 6）0.8 0.3___4.9 0.1 参考答案：>,>,<,<,>，>.

mn

1313

1

四、设y1 40.9,y2 80.48,y3

2

1.5

，比较y1,y2,y3的大小。

解：y1 21.8,y2 23 0.48,y3 21.5

y1 21.8,y2 21.44,y3 21.5

y 2是增函数 ， y1 y3 y2。 五、计算lgx lg14 2lg

x

7

lg7 lg18中的x。 37

解：lgx lg14 2lg lg7 lg18

3

2

7

lg14 lg lg7 lg18

3 914 7

lg1 lg 18

x 1

六、求y 2 3 9 1的值域。

22

解：设3 t 0，y 2 t t 1 (t 1)，

x

xx

而 t 0, 0 1, y 1, y|y 1 。

能力提升

2

1．求y logax 3x 4的单调区间。

解：先求定义域x 3x 4 0 x 1或x 4，

由于底数a没有明确范围， 要以底数a分类。 设y logau,u x 3x 4，

1）0 a 1， y logau为单调减函数，

2

2

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u x 3x 4在 , 1 ，单调递减，复合后 , 1 为增区间，

2

u x 3x 4在 4, ，单调递增，复合后 4, 为减区间。

2

2）a 1，y logau为单调减增函数，

u x 3x 4在 , 1 ，单调递减，复合后 , 1 为减区间，

2

u x 3x 4在 4, ，单调递增，复合后 4, 为增区间。

2

2

2．已知函数y log1(x ax 3a)在区间 2, 单调递减，求a的取值范围。

解：设x ax 3a u，对称轴u 区间，

2

a12

， 底数为， 应当按x ax 3a u的增22

a

2,a 4；由定义域，当x 2时4-2a+3a>0，a 4。 2

4 a 4。

只需

3．若函数f(x) logax(0 a 1)在区间 a,2a 上的最大值是最小值的3倍，求a。 解

：

由

对

数

性

质

可

知

logaa 3loga2a

，

a (2a)3，

1 a 8a3,8a2 1,a2 ,a

84

a

0 a

4．已知函数f(x)

。 4

11 x log2， x1 x

（1）求函数f(x)的定义域； （2）讨论奇偶性；

（3）当x (0,1)，讨论单调性。

x 0

解：（1）由 1 x，解得定义域为( 1,0) (0,1)。

0 1 x

（2）f( x)

11 x11 x log2 ( log2) f(x)， 函数f(x)为奇函数。 x1 xx1 x

（3）在区间(0,1)内，任取x1,x2 (0,1)，且设x1 x2，

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则f(x1) f(x2)

1 x111 x21

log2 log2

x11 x1x21 x2

由

1 x21 x1(1 x2)(1 x1) (1 x1)(1 x2)

1 x21 x1(1 x2)(1 x1)

1 x1 x2 x1x2 1 x2 x1 x1x22(x2 x1)

0

(1 x2)(1 x1)(1 x2)(1 x1)

f(x1) f(x2) 0， 在(0,1)单调递减，

因为是奇函数，所以f(x)在（ 1单调递减。 ，0）