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第三章 扭转

§3–1 工程实际中的扭转问题 §3–2 扭转时的内力 §3–3 薄壁圆筒的扭转 §3–4 圆轴扭转时的应力和变形 §3–5 圆轴扭转时的强度和刚度计算

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第三章 扭转实例：汽车转向轴、机械传动轴、 一、实例：汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等

§3–1 工程实际中的扭转问题

传动轴

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第三章 扭转二、扭转的外力特点：构件两端受到一对大小相等、转向相 扭转的外力特点： 反的力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直。 A B O A m 变形特点： 变形特点：任意两截面绕轴线发生相对转动。 两截面间相对的角位移----扭转角( 两截面间相对的角位移 扭转角( AB) 扭转角

γ

O B m

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第三章 扭转 §3–2 扭转时的内力一、外力偶矩的计算

P M = 9550 (N m) n其中：P — 功率，千瓦(kW) n — 转速，转/分(r /min)

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第三章 扭转 二、扭矩及扭矩图1 截面法求扭矩

∑M

x

=0

m

m

T m = 0 T =m

xm

T

扭矩： 2 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”。 3 扭矩的符号规定： 扭矩的符号规定： 按右手螺旋法则确定 与外法线方向一致为正 与外法线方向相反为负

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第三章 扭转4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 扭矩图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 |T|max 截面 截面 。 扭矩变化规律

T

30KNm ⊕

x

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第三章 扭转例已知：一传动轴， n =300r/min,主动轮输入 P1=500kW,从动轮输出 P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW,试绘制扭矩图。

m2 解：①计算外力偶矩m = 9.55 1 P 500 1 = 9.55 n 300 = 15.9(kN m )m2 = m3 = 9.55

m3

m1

m4

n A B C D

P 150 2 = 9.55 = 4.78 (kN m ) n 300

m4 = 9.55

P 200 4 = 9.55 = 6.37 (kN m ) n 300

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第三章 扭转②求扭矩(扭矩按正方向设) 求扭矩(扭矩按正方向设)

m2

∑M∑M∑M

x

= 0 , T + m2 = 0 1

m3 1

m1 2 n

m4 3 x 3 D

T = m2 = 4.78kN m 1

x

= 0 T2 + m2 + m3 = 0 , T2 = m2 m3 = (4.78 + 4.78) = 9.56kN m=0

A

B 1

C 2

T3 + m4 = 0 , T3 = m4 = 6.37kN m

x

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第三章 扭转③绘制扭矩图T max = 9.56 kN m

BC段为危险截面。 段为危险截面。 段为危险截面

m2

m3

m1

m4 n

A T

B

C

D⊕ 6.37

– 4.78 – 9.56

x

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第三章 扭转

小结：1.扭转时的外力及变形特点？ 2.已知功率及转速，外力偶矩的计算公式？ 3.如何计算横截面上的扭矩，扭矩的符号规 定？ 4.如何做扭矩图？

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第三章 扭转§3–3 薄壁圆筒的扭转

薄壁圆筒： 薄壁圆筒：壁厚 t ≤ 1 r0 (r0:为平均半径) 10

一、实验： 实验：

1.实验前： 实验前： 实验前 ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。

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第三章 扭转2.实验后： 实验后： 实验后 ①

圆周线不变； 圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。 纵向线变成斜直线。 3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未 结论： 圆筒表面的各圆周线的形状、 结论 改变，只是绕轴线作了相对转动。 改变，只是绕轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 γ 。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。

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第三章 扭转微小矩形单元体如图所示： 微小矩形单元体如图所示： a ①无正应力 ②横截面上各点处，只产 生垂直于半径的均匀分布的切 应力τ ,沿周向大小不变，方 向与该截面的扭矩方向一致。 的关系： 4. 与切应变 γ 的关系： dy

γ τ´dx

τ´b

τc

τd

γ L = R∴ γ = R L

A m

γ

O B m

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第三章 扭转大小： 二、薄壁圆筒切应力τ 大小：

∫ A τ dA r0 = T ∴ τ r0 ∫ AdA = τ r0 2π r0 t = T T T ∴ τ= = 2 2π r0 t 2 A0 tA0:平均半径所作圆的面积。

τ

τ

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dx

第三章 扭转三、切应力互等定理： 切应力互等定理：

∑M

z

=0

(τ tdy ) dx = (τ ′tdx ) dy 故 τ =τ′切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应 在单元体相互垂直的两个平面上，力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 其方向则共同指向或共同背离该交线。 其方向则共同指向或共同背离该交线。

单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用， 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用， 这种应力状态称为纯剪切应力状态。 这种应力状态称为纯剪切应力状态。 纯剪切应力状态

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第三章 扭转四、剪切胡克定律： 剪切胡克定律： T=m

τ

T (τ 2 A 0t) ∝

γ

(γ L ) R

τ ∝γ

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第三章 扭转剪切胡克定律： 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比 例极限时( 例极限时(τ ≤τp),切应力与切应变成正比关系。 ,切应力与切应变成正比关系。

τ = G γ式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量. 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹 性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常 数之间存在下列关系：

G=

E 2(1+ µ)

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第三章 扭转小结： 小结：1.薄壁圆筒扭转时横截面上有怎样的应力？ 怎样分布？ 薄壁圆筒扭转时横截面上有怎样的应力？ 怎样分布？ 薄壁圆筒扭转时横截面上有怎样的应力 2.薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式？ 薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式？ 薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式 3.什么是纯剪切状

态？什么是切应力互等定理？ 什么是纯剪切状态？什么是切应力互等定理？ 什么是纯剪切状态 4.什么是剪切胡克定律，什么条件下成立？ 什么是剪切胡克定律，什么条件下成立？ 什么是剪切胡克定律

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第三章 扭转 §3–4 圆轴扭转时的应力和变形

①变形几何方面 等直圆杆横截面 应力及分布规律 ②物理关系方面 ③静力学方面

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第三章 扭转一、等直圆杆扭转时横截面上的应力 1. 变形几何关系： 变形几何关系： 试验现象： 圆周线不变； 试验现象：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。 纵向线变成斜直线。

平截面假设：圆轴扭转时， 平截面假设：圆轴扭转时，各截面像刚性平面一样绕轴线 转动， 转动，即假设各截面仍保持为 一平面，横截面上的半径亦保 一平面， 持为一直线。 持为一直线。

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第三章 扭转G1G′ ρ d = γ ρ ≈ tgγ ρ = dx dx

d γρ = ρ dx

成正比。 距圆心为 ρ 任一点处的γρ与到圆心的距离ρ成正比。

d —— 扭转角沿长度方向变化率。 dx