10第十章强度理论与组合变形CAI1

工程力学

第十章

强度理论与组合变形

10.1 应力状态 10.2 强度理论10.3 组合变形

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工程力学

10.1 应力状态 概 述截面 应力 危险点应力状态

拉压

扭转

弯曲s max 压s max 拉 s max s max拉 [s 拉 ] s max压 [s 压 ]2返回主目录

yC

y

yC

o

FN

s=smax T smax

t max t max

M

强度 判据

s max 拉 [s 拉 ] s max 压 [s 压 ]

t max [t ]

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组合变形：A

FT2e

FT1

弯扭组合

压弯组合B

FA C

D

B

M(b) 带传动轴 承受组合变形的构件

(a) 钻床立柱

问题：

危险点应力状态？ 强度判据？3返回主目录

工程力学

10.1.1 平面应力状态最一般状态： 有s x、s y 、t xy =t yx。sx

sy

y

tyx

sxx

txy a sasxao

na

sy

txy

ta x

tyx s b y

一般情况

问题: 任意斜横截面上的应力sa 、t a ?思路：研究力的平衡。设单元体厚度为1,有 SFx=snabcosa+tnabsina-sxabcosa+tyxabsina=0

SFy=snabsina-tnabcosa-syabsina+txyabcosa=04返回主目录

工程力学

注意到txy=tyx,解得：s n=s x cos2a+ s y sin2a- 2txysinacosa t n=(s x -s y)sinacosa+t xy(cos2a -sin2a)

txy a sa

na

sx

a

o

ta x

tyx s b y

利用cos2a=(1+cos2a)/2,sin2a=(1-cos2a)/2, sin2a=2sinacosa,得到平面应力状态下的一般公式：sn= s x + s y s x -s y2 s x -s y + 2 cos2a -t xy sin2a

---(10-1)---(10-2)

tn=

2

sin 2a + t xy cos 2a

s n 、t n是a角的函数，a角是x轴与斜截面正法向n的 夹角，从x轴到n轴逆时针转动时，a为正。5返回主目录

工程力学

10.1.2

极限应力与主应力s x + s y s x -s y

任一 s = + cos2a -t xy sin2a n 2 2 截面 s x -s y 应力 t n = 2 sin 2a + t xy cos 2a令ds n/da=0,有：

txy sx

a

saa

n

ao

ta x syb

tyx

s n是a的函数，极值？---(10-3)

s x -s y

2 2t xy tan2a0 = - s -sy ---(10-4) x在a=a 0 的斜截面上，s n 取得极值；且 t n =0。6返回主目录

sin 2a + t xy cos 2a = 0

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10.1.2 极值应力与主应力sn= s x +s y s x -s y2 + 2 cos2a -t xy sin2a

(10-1)式

2t xy sn取极值的条件： 2a0 = tan sx - sy =x 记tan2a 0=x, 有 sin2a= x/(1+ x 2)1/2 cos2a= 1/(1+ x 2 )1/2a

x 1

代入(10-1)式： s = n

s x +s y2

±{

2 s x - s y )2/ 2 + 2t xy (

(s x - s y ) +4 t xy2

}

极值 s max s x + s y 2 = ± [(s x - s y ) / 2]2 + t xy (10-5)式 应力 s min 2 7

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10.1.2 极限应力与主应力 极值 s max s x + s y 2 = ± [(s x - s y ) / 2]2 + t xy (10-5)式 应力 s min 22t xy 极值应力截面方位： 2a0 = tan sx - s y

(10-4)式

注意到：tan2a0=tan(p+2a0)正应力取得极值的角a 0有两个，二者相差90 。 即s max和s min分别作用在两相互垂直的截面上。

主平面: 切应力为零的平面。a=a 0时，t n=0,故对应的平面是主平面。

主应力: 主平面上的正应力。故极值应力是主应力。 8

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切应力的极值？tn= s x -s y2 sin 2a + t xy cos 2a

---(10-2)

令dtn/da=0,有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0

t取得极值的条件：

sx

-sy tan2a 1= 2t xy

=x (10-6)

同样有 sin2a= x/(1+ x 2 )1/2 ;cos2a= 1/(1+ x 2 )1/2 代入(10-2)式： t max 2 极限切应力 =± [(s x - s y ) / 2] 2 + t xy (10-7)式 t min 9

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极限切应力作用平面？sx -sy (10-6) tan2a 1 = 2t xy

主平面方位2t xy tan2a0= - s x -sy

(10-4)

切应力取得极值的角a 1有两个，二者相差90 。 即t max和t min分别作用在两相互垂直的截面上。

a 1 和a 0 的关系？p p 1 =-cot 2a 0= - tan( ±2a0) = tan(2a 0 m ) tan2a 1 = tan2a0 2 2

即有：a1=a0 p/4切应力取得极值的平面与主平面间的夹角为45 。10

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例1 已知某点的应力状态为: s x =30MPa, s y =10MPa,t xy=20MPa。 求 1) 主应力及主平面方向；2) 最大、最小切应力。 解：1)主应力与主方向 主应力：由(10-5)式有：y

tyx

sy

smax 30 + 10 30 -10 2 2 42.36MPa ± ( ) + 20 = = smin - 2.36MPa sx 2 2

a=58.29

sx

主方向角：由(10-4)式有：2 20 = -2 tan2a 0 = 30 - 10

sy

txy

a x 0 n

2a 0= -63.43 , a 0= -31.72 11

主平面方位:

a01=58.28 , a02=148.28

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各主平面上的应力？(t=0)a=58.28 时，由(10-1)式有:s1 tyx30+10 30-10 sn = + cos116.56 -20 sin116.56 s2=0 2 2 sx

yy

sy

s3a=58.29

sx

=-2.36MPa=smin

s3

zys 1

s3 txysy

x x a0 s1

n

a=148.28 时有: sn=smax=42.36MPa故此面上还有第三个主应力 sz=0。

在平行xy的前后面上，无应力作用，s、t均为零。 s

s1

a0=58.28 x

s2

3

s3 s1 三个主应力按大小排列。 平面应 用主应力表示应力状态，简洁、清晰。 力状态12

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3)最大、最小切应力由(10-7)式有：

s

tmaxs

-tmax a1=13.28 s

y

t max 2 =± [(s x - s y ) / 2] 2 + t xy t min

-tmax

tmaxs

x

a=103.28 时: 作用平面方向角：a 1=a 0 +p/4=13.28 t=-22.36MPa a 0= -31.72 a=13.28 时，由(10-2)式有: s =20MPat=s x -s y2 sin 26 .56 o +t xy cos 26 .56 o = 22 .36 MPa

(30 - 10) 2 =± [ ] + 20 2 =±22.36 MPa 2

注意 s = 30 + 10 + 30 -10 = cos 26.56° 20 sin 26.56° 20MPa 还有 2 2 13

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