5.7定积分的物理应用

2. 平行截面已知的立体体积 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 上连续, 则对应于小区间 的体积元素为

dV A( x ) d x因此所求立体体积为

V A( x ) d xa

b

A( x )

a

x

b1

x

例15. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 x 2 y 2 R 2 选择 y 作积分变量 垂直于y 轴 的截面是矩形, 其面积为

A( y ) 2 x y tan 2 tan y R yR

y

o2 2

2

(0 y R)2

2 3 V 2 tan y R y d y R tan 0 3

( x, y ) R x

例16. 计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一 条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积。

解：底圆方程为 x 2 y 2 R 2截面是等边三角形从而边长为2 R 2 x 2, 高为 3 R 2 x 2 截面面积o R x

y

1 A( x ) 2 R 2 x 2 3 R 2 x 2 3( R 2 x 2 ) 2 R 4 3 2 2 3 R 于是V 2 3( R x )dx 0 33

四、平面曲线的弧长定义: 若在弧 AB上任意作内接折线 , 当折线段的最大

边长 →0 时, 折线的总长 度趋向于一个确定的极限 ,称此极限为曲线弧AB的弧长 , 即 s lim M i 1 M i 0i 1 n

yM2M1

M n 1B Mn

o

A M0

x

并称此曲线弧为可求长的。 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的。 (具有连续导数) (证明略)4

利用微元法来讨论平面光滑曲线弧长的计算公式 1.直角坐标方程的曲线弧长公式 y 曲线弧方程y f ( x( ) a x b) 得弧长元素：ds (d x ) 2 (d y ) 2 1 y 2 dx 得弧长公式 s b a

ds

y f ( x)

1 y 2 dx

o a

2.参数方程的曲线弧长公式 x (t ) 曲线弧方程 ( t ) y (t ) 得弧长元素： ds 2 ( t ) 2 ( t )dt

xx d x b x

得弧长公式 s

2 ( t ) 2 ( t )dt5

3.极坐标方程的曲线弧长公式

曲线弧方程 ( ) ( )直角坐标与极坐标关系 x ( ) cos ( ) y ( ) sin

得弧长元素： ds 2 ( ) 2 ( )d

得弧长公式 s

2 ( ) 2 ( )d

注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小。6

1 2 例17. 求抛物线 y x 被圆 x 2 y 2 3 所截下的有 2 限部分的弧长 。1 2 x1 2 x 2 2 y x 解： 由 得 , 2 y1 1 y 2 1 y 2 2 x y 3由对称性s 2 2 2 0 0

1 y 2 dx 1 x 2 dxO x

2

[ x 1 x 2 ln( x 1 x 2 )]0 2

6 ln( 2 3 )7

例18. 求连续曲线段解: cos x 0 ,

的弧长.

s

2

2

2

2 1 y 2 d x

x

2

2

0 2

1 ( cos x ) d xx 2 cos d x 2

2

2

0

x 2 2 [2 sin ] 2 4 2 08

例19.求心形线 a(1 cos ) 的长度. 解： a(1 cos ), ( ) a sin

s a (1 cos ) 2 sin 2 d

a

2 2 cos d

2a

cos d 8a 2

第五章

第七节 定积分的物理应用一、变力沿直线作功 二、液体对薄板的侧压力

一、变力沿直线作功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x=a 移动到力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 。 在其上所作的功元 素为

dW F ( x ) dx

因此变力F(x) 在区间

x x dx b x a 上所作的功为

W F ( x ) dxa11

b

例1. 由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力 F(单位：N)与弹簧的伸长量s(单位:cm)成正比，

即F=ks (k是比例常数)如果把弹簧由原长拉伸6cm,计算所做的功。 解： 当弹簧从x拉伸至x+dx,可认为外力近似于F=kx 于是外力做功元素 dW= kxdx 而弹簧拉伸6cm,

从而 W kxdx 18k ( N cm ) 0

6

0.18k ( N m ) 0.18k ( J )12

例2.直径为20cm、高为80cm的圆柱体内充满压强为 10N/cm2的蒸汽。设温度保持不变，要使蒸汽体 积缩小一半，问需要做多少功？ y 解：建立坐标系如图所示。 2 10 10 80 80000 k PV 当圆柱体的高减少xcm时的压强为 o dx 40 x k 80000 800 P( x) 2 V 10 (80 x ) (80 x ) 800 2 于是dW P ( x ) Sdx 10 dx (80 x ) 40 800 则W 10 2 dx 0 ( 80 x ) 80000 ln 2( N cm ) 800 ln 2( J ) 13

例3. 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力 与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击 时将铁钉击入1cm,若每次锤击所作的功相等，问 第n次锤击时又将铁钉击入多少？ 解: 假如钉子钉入木板的深度为xcm 则木板对铁钉的阻力为 F ( x ) kx ,1

k 第一次锤击时所作的功为 W1 0 kxdx , 2 设n次击入的总深度为h厘米 2 h kh n次锤击所作的总功为 W n kxdx , 0 2 2 而每次锤击所作的功相等 Wn nW1 kh n k , 2 2 n次击入的总深度为 h n , 第n次击入的深度为 n n 1. 14

例4. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?

ox x dx

解: 建立坐标系如图。 任取一小区间 [ x , x dx ],这薄层水的体积元素 2 2 dV y dx 3 d x

5m

这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 3m d W gx d V 9 g x d x 设水的密 x 度为 故所求功为

W 9 g x d x 112.5 g ( kJ )015

5

例5. 设一锥形贮水池，

深15米，口径20米，盛满 水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？ 解： 建立坐标系如图所示。则直线AB的方程为 2 x 3 y 30O x A(0,10) y…… 此处隐藏：869字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……