曾谨言《量子力学教程》(第3版)配套题库【课后习题-中心力场】

第5章中心力场

5.1 利用《量子力学教程》5.1.3节中式（17），（18），证明下列关系：

相对动量

总动量

总轨道角动量

总动能

反之，有

以上各式中，

证明：利用的定义，可得出

所以

因而

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类似有

所以

5.2 同上题．求坐标表象中p 、P

和L 的算符表示式

解：

5.3

利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱：

（a

）电子偶素（positronium ，指e#＋－e#－束缚体系 （b ）μ原子（muonicatom ），指平常原子中有一个电子e －被一个μ－粒子代替；

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（c ）μ子偶素（muonium ，指μ＋－μ－束缚体系）． 解：（a ）由于正负电子的质量均为m e ，电子偶素的约化质量为

此体系的能谱为

（b ）μ原子中μ子质量为ｍμ≈207m e ，原子核的质量为M ，而约化质量为：

体系的能谱为

（c ）设μ子质量为m μ，则μ子偶素的约化质量为，体系的能谱为

概括起来，如采用自然单位（能量自然单位是，则这几个体系的能级公式都与氢原子相同，即

但每个体系的约化质量μ不同．按能量自然单位或按约化质量μ的大小，其顺序如下

电子偶素 氢原子 μ子偶素

μ原子

5.4 对于氢原子基态，计算△x △p ．

解：氢原子基态波函数为

．考虑到氢原子波函数具有空间旋转和空间反射不变性，必有

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而

对氢原子（coulomb 势），按位力定理（见《量子力学教程》，80页，练习题），动能平均值

（势能平均值），而对于能量本征态，由此可得．对

于氢原子基态

因此

由氢原子基态波函数（l ＝0）的球对称性，有

所以

5.5 对于氢原子基态，求电子处于经典禁区（

r>2a ）（即

E —

V<0区域）的概率．

解：氢原子基态波函数为 是Bohr 半径．基态能量

区域相当于r>2a ，此即经典力学所不允许的区域．因此处于经典禁区的概率

为

5.6 对于类氢原子（核电荷Ze）的“圆轨道”（指nr，＝0，即ｌ＝ｎ－1的轨道），计算

（a）最概然半径；（答：ｎ2a／Z）

（b）平均半径；（答：

（c）涨落

【详细计算见《量子力学习题精选与剖析》[上]，5.17题．】

5.17 对于类氢离子（核电荷Ze）的1＝n－1（nr＝0）状态，计算

（a）最概然半径r概；

（b）平均半径

（c）涨落Δr，并和比较．

解：类氢离子中电子波函数ψnlm可以表示成

（a）最概然半径由径向概率分布的极值条件

决定，l＝n－1时，n r＝0，

利用极值条件（2），容易求得

这结果和Bohr量子论中圆轨道的半径公式一致．

（b）r的平均值已在题5.9中普遍算出．对于本题，

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（c）r2的平均值也已在题5．9中算出．对于本题，

因此，r的涨落为

可见n越大，越小，量子力学的结果和Bohr量子化轨道的图像越加接近．

5.7 按（5.1）节，式（8），中心力场Ｖ（r）中的粒子的径向方程可以写成

利用Feynman－Hellmann定理（见4.7题），证明对于处在能量本征态下的三维各向同性谐振子，有

证明：三维各向同性谐振子能级公式为，N＝（2n，＋1），n r，l，N＝0，1，2，…，所以

得

【证明，见《量子力学》，卷l，6.5节，343页，式（24）．】

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