2.3-最常见的随机过程或随机模型

最常见的随机过程或随机模型

主要内容Brown运动或 运动或Wiener过程 运动或 过程 二项过程 Poission过程 过程 白噪声过程 自回归过程 移动平均过程 混合自回归移动平均过程 利率期限结构或均值回复模型 ARCH类模型 类模型2

二项过程1979年Cox、Ross和Rubinstein利用二项过程 年 、 和 利用二项过程 提出了二叉树期权定价模型， 提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格运 动过程，进行股票期权定价分析。 动过程，进行股票期权定价分析。 目前， 目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价 领域， 领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行为 提供了最佳认识工具， 提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行的数 值方法。 值方法。

二项分布是指随机变量满足概率分布

P (ξ = k ) = C p (1- q )

k n

k

n- k

其中， 其中，k=1,2, …,0<p<1,q=p-1。 , 。 二项过程实质上是将二项分布作为一个过程来描 述金融资产价格变化的。

假设股票价格在t时刻为 假设股票价格在 时刻为S(t),当时间变化到 时刻为 ， t+ t时，价格要么以概率 从S上涨到 上涨到uS(u >1), 时 价格要么以概率p从 上涨到 ， 要么以概率q下降到 下降到dS(d<1);时间为 要么以概率 下降到 ；时间为t+2 t时有 时有 三种可能： 三种可能：u2S、udS、d2S,以此类推，见树型 、 、 ,以此类推， 结构

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显然， 显然，在t + t 时刻，股票的期望价格为 时刻， E(St+ t)=puS+(1-p)dS, , 在t +2 t 时刻，股票的期望价格为： 时刻，股票的期望价格为：,

E(St+2 t ) = p u S + 2p(1 p)udS+ (1 p) d S2 2 2 2i = ∑c2 pi (1 p) 2 i u i d 2 i S i =0 2

在t + n t 时刻，股票的期望价格为： 时刻，股票的期望价格为：n

E ( S t + n t ) =

åi= 0

C p (1- p) u d S6

i n

i

n- i

i

n- i

Poission过程 过程引言： 引言： Brown运动是用以描述连续时间下金融资产价格 运动是用以描述连续时间下金融资产价格 运动的， 运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续变 化的，有时会出现跳跃， 化的，有时会出现跳跃，Poission过程就是经常 过程就是经常 用以模拟跳跃的一类随机过程。 用以模拟跳跃的一类随机过程。

计数过程： 计数过程： 如果用ξ 表示[0,t]内随机事件发生的总数，则随机 内随机事件发生的总数， 如果用ξt表示 内随机事件发生的总数 过程{ξ 称为计数过程，且满足： 过程 ξt }t≥0称为计数过程，且满足： (a) ξt ≥ 0; ; 是整数值； (b) ξt是整数值； (c) 对于任意两个时刻 ≤ s<t,有ξs<ξt; 对于任意两个时刻0≤ 有 ξ (d) 对于任意两个时刻 ≤ s<t, ξt -ξs等于

在区间 ( s, t ] 对于任意两个时刻0≤ ξ 中发生的事件的个数。 中发生的事件的个数。

若在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立 的，则称计数过程有独立增量。 则称计数过程有独立增量。 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依 赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。 赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。 显然， 为一个正整数， 显然，ξt为一个正整数，ξ0=0;对于任意的时刻 ； 0≤ s<t, 有ξs ≤ ξt, ξt =ξt ξs表示s到t时间段内 ≤ ξ 表示 到 时间段内 出现的事件数目。 出现的事件数目。

定义9 定义 泊松过程 设随机过程{ξt }t≥0是独立增量过程，如果满足 设随机过程 ξ 是独立增量过程， (a) ξ0=0; (b) {ξt }t≥0是独立增量过程( ξt=ξt ξs); 是独立增量过程( ξ ξ (c) 对任一长度为 的区间中事件的个数服从均值 对任一长度为t的区间中事件的个数服从均值 分布， 为λ(t s)的Poission分布，即对一切 ≥ t0 ,有 的 分布 即对一切s

k! 则称{ξ 为参数为λ 的 过程。 则称 ξt }t≥0为参数为λ(t s)的Poission过程。 过程直接计算可知， ξ 所以λ 直接计算可知，Eξt =Vξt =λt,即，所以λ表示单 ξ λ , 位时间内事件出现的平均次数，因而λ 位时间内事件出现的平均次数，因而λ也常被称为 发生率或强度。 发生率或强度。10

P(ξt ξs = k) =

λk (t s)k e λ(t s)

, k = 0,1,2L, λ > 0

白噪声过程 随机过程{ξt}t≥0称为白噪声过程，若Eξt=0,且 随机过程 ξ 称为白噪声过程， ξ ,

σ 2, j = 0 E(εt εt j ) = 0, j ≠ 0显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程， 显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在金 融研究中主要用于模型无法解释的波动。 融研究中主要用于模型无法解释的波动。

自回归过程按时间次序排列的随机过程{ξt}( t=1,2,…)称为时间序 按时间次序排列的随机过程 ξ , , 称为时间序 列。 若时间序列是相互独立的， 若时间序列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前一 刻毫无关系，即系统无记忆性。 刻毫无关系，即系统无记忆性。 若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。其中 若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。 最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关， 最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关， 而与其前一刻以前的行为无直接联系， 主要与ξ 相关。 而与其前一刻以前的行为无直接联系，即ξt主要与ξt -1相关。 从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆， 从记忆的角度理 …… 此处隐藏：3268字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……