第 1 讲 多边形与平行四边形①多边形；②平面图形的密铺；③平行四边形.

1.(2009· 宁波)如图，∠1,∠2,∠3,∠4 是五边形 ABCDE 的外角，且∠1=∠2=∠3 =∠4=70° ,则∠AED 的度数是( )

A.110° B.108° C.105° D.100°

解析：根据多边形的外角和是 360° 得：∠AED 的补角=360° -(∠1+∠2+∠3+∠4)= 80° ,∴∠AED=180° -80° =100° .答案：D

2.(2009· 丽水)下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三 种镶嵌而成的为( )

解析：观察选项易得 D 满足条件. 答案：D

(

3.(2010· 湖州)如图，已知在 ABCD 中，AD=3 cm,AB=2 cm,则 ABCD 的周长等于 )

A.10 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm

解析： ABCD 的周长为：2(AD+AB)=2×(3+2)=10 (cm). 答案：A

4.(2009· 嘉兴)在四边形 ABCD 中，∠D=60° ,∠B 比∠A 大 20° ,∠C 是∠A 的 2 倍， 求∠A,∠B,∠C 的大小.解：设∠A=x(度),则∠B=x+20,∠C=2x. 根据四边形内角和定理得 x+(x+20)+2x+60=360. 解得 x=70. ∴∠A=70° ,∠B=90° ,∠C=140° .

5.(2010· 舟山)已知：如图，E,F 分别是 ABCD 的边 AD,BC 的中点. 求证：AF=CE.

证明：方法一： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，且 E,F 分别是 AD,BC 的中点， ∴AE=CF. 又∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC,即 AE∥CF. ∴四边形 AFCE 是平行四边形. ∴AF=CE. 方法二： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，且 E,F 分别是 AD,BC 的中点， ∴∠B=∠D,AB=CD. ∴△ABF≌△CDE. ∴AF=CE.

知识点一 多边形的概念与性质1.定义：多边形的对角线是连结多边形不相邻的两个顶点的线段. n n-3 注意：从 n 边形的一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线，一个 n 边形共有 条对 2 角线. 2.n 边形的内角和是(n-2)· ,外角和是 360° 180° .

知识点二 平面图形的密铺1.密铺的定义 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地 铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌. 2.平面图形的密铺 (1)一个多边形密铺的图形有：三角形、四边形和正六边形； (2)两个多边形密铺的图形有：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八 边形和正三角形和正十二边形； (3)三个图形密铺的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形、正方形、正六边形和正 十二边形、正三角形、正方形和正十二边形.

知识点三 平行四边形的定义、性质与判定1.定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 2.性质：(1)平行四边形的对边平行，平行四边形的对边相等； (2)平行四边形的对角相等，邻角互

补； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)平行四边形是中心对称图形. 3.判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.

类型一 多边形和平面图形的密铺(1)若一个正多边形的一个内角是 120° ,则这个正多边形的边数是( A.9 B.8 C.6 D.4 (2)下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形【点拨】(1)n 边形的内角和是(n-2)· ,∴ 180°

)

n-2 · 180° =120° ,∴n=6.也可以求出这 n

360° 个正多边形的每一个外角是 60° ,∴ =6,即选 C. 60° (2)用一种图形进行平面镶嵌的有三角形、四边形、正六边形，∴选 C.

【答案】(1)C (2)C

类型二 平行四边形的性质与判定(1)如图，在 ABCD 中，点 E、F 是对角线 AC 上两点，且 AE=CF.

求证：∠EBF=∠FDE. (2)如图，在 ABCD 中，已知点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上且 AE=CF.

①求证：DE=BF;②连结 BD,并写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)

【点拨】用平行四边形的判定方法和性质可解决有关角的相等或互补、线段相等或倍数 关系、两直线平行等问题，一般是先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性 质解决有关问题.