2015_SHI_03_数学实验-迭代问题_V2.0

石 振 锋哈工大 计算数学研究所2015年 秋季学期

线性映射迭代、分形、混沌考察下列 方程组: 初始值：0.2

1 x xn n 1 3 y 1 x n 1 n 3

3 yn 3 3 yn 3

可写 成：

x0 0, y 0 0.2

可视为：A为一个映射，它将平面 上的点映射为平面上的另一个点。

1 3 x xn 1 3 xn 3 n y y A y 3 n n 1 1 n 3 3

第三章 平面线性映射的迭代--二维动力系统(图3.1)

0.15

0.1

实验现象：逐点连线后的图形 表明：随着时间的推移(即迭 代的过程),将趋于一个平衡 点。 如果将此方程组看成是一个对 某系统的描述，则该系统绕着 平衡点“游荡”,其潜在的形 状被称为“奇异吸引子”。 2

0.05

0

-0.05 -0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

drawFig31.m

一、平面线性映射迭代从不动点谈起对于函数f(x),若存在x*使得x*=f(x*),则称x*为f(x)的不动点.不动 点分为吸引不动点和排斥不动点，当迭代序列收敛时不动点为 吸引点，当迭代序列发散时不动点为排斥点，因此要想知道不 动点的类型,就要探索序列收敛和发散的条件,就要对大量的线性 或非线性函数进行研究。对于排斥不动点，观察它的迭代序列，会发现两种情况(后面介绍):1、它可能也有收敛的子序列，此时序列可能收敛于周期点,经过探索发现这 些周期点都是2的n次方倍的。这是一种有序现象。

2、就是出现所谓的混沌现象。分析混沌的特性，观察并体会混沌无序中的有 序，以及它对初始值的敏感性。通过函数迭代利用计算机求出函数的迭代序列，进而求得不动点的近似值。 在有关程序中改变参数值和初值，从中体会序列敛散性(收敛的速度),同时 还可以通过蛛网图(后面介绍),观察它的几何特性。

一、平面线性映射迭代

对函数y=f(x),按照几何映射的观点，图形上就可表示为一条曲 线。特别地，当f表现为一条通过原点的直线时，称f为线性映射。

函数映射 线性映射：y f x ax 仿射映射： y f x ax b

一次函数映射 这类线性映射(平面到平面、 空间到空间)有什么性质呢？ 【敛散性，敛散速度等】 4

一、平面线性映射迭代迭代的可视化(蜘蛛网图)对函数的迭代过程,我们可以用几何图像来直观的显示它。 在xoy平面上，先作出函数y=f(x)与y=x的图形，对初值x0,在 曲线y=f(x)上可确定一点P0,它以x0为横坐标，过P0引平行于x 轴的直线，设该直线与y=x交于Q1 点。

过Q1 点作平行于y 轴的直线，它与曲线y=f(x)的交点交于P1点。重复上面的过程，就在曲线y=f(x)上得到点

列P1,P2,P3…。 。 不难知道，这些点的横坐标构成的序列x1,x2,x3,…, 就是迭代序列 。 若迭代序列收敛，则点列 P1,P2,P3…趋向 于曲线曲线=f(x)与y=x 交点P*,因此若迭代 序列是否收敛，可以从图形上观察出来。 这种图称为迭代的蜘蛛网图。 5

一、平面线性映射迭代

在线性代数课程的学习中，我们已经学过了一对很重要的数 学概念 —— 方阵的特征值和特征向量，本次课程我们进一步 阐述和研究它的数学本质，并在此基础上利用相关的代数知 识和matlab软件以可视化的方式加深对于它们的理解。(n) (n) x1( n 1) a11 x1( n ) a12 x2 a1m xm ( n 1) (n) (n) (n) x a x a x a x 2 21 1 22 2 2m m ( n 1) (n) (n) (n) x a x a x a x m1 1 m2 2 mm m m

1.定义 :关系式

(n) (n) (n) T ( x , x , , x 将向量 1 2 m )

( n 1) ( n 1) ( n 1) T ( x , x , , x ) 映射为向量 1 2 m

一、平面线性映射迭代写成矩阵形式

x n 1 Ax n

(n) (n) T 其中 x n , x n 1 分别为 ( x1( n ) , x 2 , , xm ) 与

( n 1) T ( x1( n 1) , x 2( n 1) , , x m ) ,A为m×m矩阵

形如 y=Ax 的映射称为线性映射.给出一个初始向量(0) T x 0 ( x1( 0 ) , x 2( 0 ) , , x m ) ,将上述映射反复作用可得 序列： x0 , x 2 Ax1 ,…, x1 Ax 0 , x n 1 Ax n , …我 们将这一过程称为线性映射的迭代，其中矩阵A称 为迭代矩阵 。

一、平面线性映射迭代

一、平面线性映射迭代线性函数迭代初探考察线性迭代函数：

y ax b

请参考：iterline.m

考虑不同的数对(a, b, x0, n),通过实验和图形表现，观察实验现象。

思考：① 能否找到一个线性迭代，它对任意初始值，迭代序列均收敛？ ② 能否找到一个线性函数，它对任意函数值，迭代总是发散的？

③ 是否存在这样的线性迭代，对一个或一些初始值给出的迭代序列收敛，而 对其他初始值发散呢？

④ 能否找到这样的线性函数，对不同的初始值，迭代序列收敛到不同的极限？

⑤ 对总给出收敛序列的线性函数 ，序列的极限L与常数 (a,b)关系如何？ 为了研究这个问题，取一个固定的 a值，变化 b,观察序列对不同的极限值， 注意到了什么？ y -0.5 x +1

y 0.5 x 1

y x 2

y 3 x 2

y x

L

b 1 a

线性函数迭代收敛的数学方法剖析，请参考：线性函数的迭代--教案.docx

一、平面线性映射迭代

基于Marcov概率转移矩阵的天气预报模型：具体程序参见 weatherMarkov.m。 通过输入不同的参数我们可以看到当n>13时预报概率会保持 一个定值，研究一下我们所使用的矩阵的特征值，可以看

到 其中的原因在于，一个特征值为1,另 …… 此处隐藏：2451字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……