高中数学经典解题技巧和方法：(数列求和及综合应用)

高中数学经典的解题技巧和方法（数列求和及综合应用）

【编者按】数列求和及综合应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，马博士教育网数学频道编辑部特意针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们，让同学们有更多、更好、更快的方法解决数学问题。好了，下面就请同学们跟我们一起来探讨下数列求和及综合应用的经典解题技巧。

首先，解答数列求和及综合应用这两个方面的问题时，先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题，同学们应该先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解决问题：

1．了解数列求和的基本方法。

2．能在具体问题情景中识别数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应问题。 3．了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

好了，搞清楚了数列求和及综合应用的上述内容之后，下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧。

一、可转化为等差、等比数列的求和问题

考情聚焦：1．可转化为等差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一。 2．该类问题出题背景选择面广，易与函数方程、递推数列等知识综合，在知识交汇点处命题。 3．多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。

解题技巧：某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有： 1．

凑配、消项变换——如将递推公式

（q、d为常数，q≠0，≠1）

。通过凑配变成

；或消常数转化为

2．

倒数变换—如将递推公式3．对数变换——如将递推公式

4．

换元变换——如将递推公式

（c、d为非零常数）取倒数得

取对数得

（q、d为非零常数，q≠1，d≠1

）变换成

，令，则转化为的形式。

1 1

例1：（2010·福建高考文科·Ｔ１7）数列{an} 中a＝，前n项和Sn满足Sn 1-Sn＝

3 3

（n N）.

( I ) 求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn；

（II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t的值。

*

n 1

【命题立意】本题考查数列、等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数方程思想、化归转化思想。

【思路点拨】第一步先求an的通项，可知an为等比数列，利用等比数列的前n项和求解出Sn；第二步利用等差中项列出方程求出t

1

【规范解答】 ( I ) 由Sn 1 Sn

3

1 1

从而Sn 1

2 3

n

n 1

1

得an 1

3

n 1

n N

1 1

，又a1 ，故an n N ，

3 3

n

n N

（II）由( I ) S1

1413,S2 ,S3 ,从而由S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列可得3927

1 413 14

3 2 t,解得t 2。 3 927 39

【方法技巧】要求数列通项公式，由题目提供的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数列的通项。题目要求的是项的问题，这就涉及有关“项”与“和”如何转化的问题。一般地，含有Sn的递推关系式，一般利用an

S1,

n 1

Sn Sn 1,n 2

化“和”为“项”。

二、错位相减法求和

考情聚焦：1．错位相减法求和，是高中数学中重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。 2．该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。 3．多以解答题的形式出现，属于中、高档题。 解题技巧：几种求通项及求和方法 （1）已知

，求

可用叠加法，即

（2）已知，求可用叠乘法，即

（3）设{

}为等差数列，

为等比数列，求数列

的前n项和可用错位相减法。

例2：（2010 ·海南宁夏高考·理科T17）设数列 an 满足a1 2， （Ⅰ)求数列 an 的通项公式：

（Ⅱ）令bn nan，求数列 bn 的前n项和Sn.

【命题立意】本题主要考查了数列通项公式以及前n项和的求法，解决本题的关键是仔细观察形式，找到规律，利用等比数列的性质解题.

【思路点拨】由给出的递推关系，求出数列的通项公式，在求数列的前n项和. 【规范解答】（Ⅰ)由已知，当n 1时，

an 1 (an 1 an) (an an 1) (a2 a1) a1 3(22n 1 22n 3 2) 2 22(n 1) 1

而a1 2，满足上述公式，所以 an 的通项公式为an 22n 1. （Ⅱ）由bn nan n 22n 1可知，

sn 1 2 2 23 3 25 n 22n 1 ①

从而 22sn 1 23 2 25 3 27 n 22n 1 ② ① ②得

(1 2)sn 2 2 2 2

2

3

5

2n 1

n 22n 1

即 Sn

12n 1

(3n 1)2 2 9

【方法技巧】利用累加法求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的和. 三、裂项相消法求和

考情聚焦：1．裂项相消求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。

2．该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。

3．多以解答题的形式出现，属中、高档题目。 解题技巧：裂项求和的几种常见类型

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

（5）若 …… 此处隐藏：2181字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……