积分

第3 2卷第 2期Vo . 2 13 No 2 .

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21 0 0年 3月Ma . r 2 0 01

J u n lo z i e s y o r a fHe e Un v r i t

文章编号：6 3—2 0 (0 0 0 O 1—0 17 13 2 1 ) 2一 1 1 3

更准确的不定积分符号表示王海英朱泓颖2高晶，,( .中国地质大学 (京) 1北信息工程学院，北京 10 8;.中国人民大学信息学院数学系， 0 03 2北京 10 7 ) 0 82

摘要：在微积分理论中，现用的不定积分符号常会误导学习者理解不定积分，从而给出错误答案.结合原函数以及不定积分的定义，重新给出更准确的不定积分符号，充分强调区间的重要性，为正确理解不定能积分的知识体系提供方便 . 关键词：不定积分；函数；原积分区间；分变量；积函数.积被 中图分类号： 7 . 014 1文献标识码： A

1现用的不定积分定义及其符号不定积分理论均是《数学分析》、高等数学》和《…《 微积分》3的重要章节， E]它不仅是连接微分理论和积分理论体系的桥梁，而且是学习者的一个很重要的思维跨度 .编著者均是在给出原函数定义的基础上定义不定积分，出不定积分符号表示 .给

设函数厂、 ( ) ( F x均在区间， )内有定义.若对 V, F ( )= x∈有 )则称 F为戈在区间， () )上

的一个原函数； 9lz函数 )在区1 _, l的全体原函数称为 )上的不定积分， 在记作 )x其中J d,称为积分号， ) 为被积函数， )x为被积表达式，为积分变量[. d 2】上述不定积分的概念和符号不仅是微积分理论的基础，而且对解决实际问题起着指导性作用.但是，正是因为不定积分符号 )x没能重视区1,从而导致学习者错误理解不定积分，出错误答案. d 9’,给 ’

比如，在教学过程中，经常有些学生会问： J J x J 存在否？ d 在很多情况下，许多教师忽视不定积分符号的解释，忽略区间，的重要性，从而导致很多问题 .

2存在问题 在计算不定积分的过程中，不注意被积区间，易产生错误的答案，若极而且师生都不易发现错误，其与说是他们未能充分重视积分区间的

重要性，不如说是未能真正理解不定积分的定义及其符号.:如

例 设

.{茎 ;求一_’[

例1被积函数具体的定义区间，给出故求解非常容易，这样较容易地回 I Ix答 存在性问： I d 题若在区间

(∞,∞) J X d不存若 1[,。)一 0上，l Ix一+上，I x在；在区9 0+。或(∞, I ] J 存在.此，不 d 因现用定积分符号未能显示出积分区间的重要性，给初学者学习不定积分理论带来了困惑.又如，献[]2 5的一道习题：文 3 P2

收稿日期：09— 8—2 20 0 6

基金项目：国地质大学(京 )学研究和教学改革项日( 0 9 5 .中北教 2 02 )作者简介：王海英 (9 7一)女， 17,山东鄄城县人，讲师 .士，博硕士研究生导师；研究方向：应用数学及其教学.

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菏泽学院学报

第 2期

N求 2 J

.

例 2中的不定积分并未明确指出积分区间，一般默认为被积函数的定义域.正是因为现用不定积分符号中未能指明积分区间，生许多经不起推敲的结论.产 常见例 2的错误解答一：

,

=

薷

=

:( 1 )

』e— e) t— c+ c任常 ) (c t s= n s C(为意数 s ac a e x常见例 2的错误解答二：

作能元设= n,s+,=+d万换，z t号则i 1 f a似= t 1 t.=

2 +一，南 c去+ c常 c 为 c

( 2 )

以错原以例的确路因函 上误因及 2正思：为数式 ( ) ( )均不是例 2的正确答案. 1、2

的义为∈且 2r号整}定域{ i k一，数， I , r是

对定域的=k+ (+)(整 )别得 (、)端数意，此于义中点 2号和=2 1 数，使式 1 (右函无义因， v k霄为分 )2上述两例的疑惑和错误结论，是由于忽视了区问，均的重要性、错误理解不定积分及其符号而导致.因此，必要给出更准确的不定积分定义及其符号 .有

3更准确的不定积分定义及其符号 不定积分定义：函数厂 ) r x均在区间 f设 (、()内有定义，且对 V∈J有 F ( , )= )则 F(为， ), ) (

在区间，

的一个原函数；区问，的所有 )的原函数的集合称为 )在区间，的不定积分，作上把上上记),∈, . ‘

考虑，上述号， Ix例1结合新符分析J , 0+ )f Ix ( o,、I Ix (∞, I d∈[,∞、I ,一。]f ,一 d E 0 d∈+∞)的存在性.然， (诚在一∞,+∞ )上不存在一个连续可导函数 F( )满足 F ( x )=I I其中 I I , : L,

∈[ u,+∞ ).,

根据不定积分的定义，只需找出被积函数在各区间所对应的原函数，而，从

,

∈ (一∞, 0)

在区：F,∞上， I:问 o+ )有f I

:1+,∈,为意数； c其中，任常 C

在区=(∞,上， Ix=f一 )=÷+, E,为意常 .间，一 0有f ] I d ( 一 C其中，任数 C再考虑例2由于被积区间，,为函数十 l的定义域为， I∈i J S肼={ 且≠2叮一， Z, j .÷∈}则} T

一解孰=参南懈确答 题+ C.

(寻 n )争一

式中∈, C为常数.,综卜所i更准确的不定积分定义及其符号对初学者学习微积分理论意义重大.术.

参考文献：f]华东师范大学数学系.数学分析[ 第 3版.北京：高等教育出版社， 0 1 _ 1 M] 201 l 2

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2 3 4 5,{ 1J

21 00丘

王海英，:准确的不定积分符号表示等更

第 2期

同济大学数学教研室.高等数学[ .第 4版 .北京：高等教育出版社，19 . M] 9 6赵树媛.微积分[ .第 3版.北京：中国人民大学出版社， 0 7 M] 20 .

张俊敏，成立花.在不定积分计算中不能忽视“区间” J.高等数学研究， 03 64: 6 4[] 20, ( ) 4— 7曾意.关于不定积分的一个注记[] J .内江师范学院学报， 0 1 6 4: 9— 0 2 0,1 ( ) 5 6 .

M o e Ac u a e S m b lo h n e n t n e r l r c r t y o ft e I d f ie I tg a i

W ANG Ha—yn HU n i i g,Z Ho g—yn i g,GAO Jn ig( . o eeo fr ai 1 C H g f n m t n

& E g er g C i nvr t o esi csB in 0 0 3 P R C ia Io o ni ei, hn U i sy f oc ne eig10 8, . . hn; n n a e i G e j 2 M te a c et, ol eo om t n C iaP ol￣U i ri, e ig10 7,P . ahm t s p. C l g fn r ai, hn ep i D e I f o e nv s y B rn 0 82 .R.C ia e t hn )

Ab t a t I ac l st o y,t e s mb lo e I e n t n e r lb i g u e fe se d e la ne st n— s r c:n c l u u he r h y o ft nd f ie I t g a e n s d o tn mila st e r r o u h i h de sa d i a d g v o o g a s r . I h s pa e,a c r n o t e de n t n ft e Orgn lF cin n rt n t n ie s me wr n n we s n t i p r c o dig t h f ii s o h i i a un to a d i o te I d fnt n e r l h r c u ae s mb lo h n e n t n e r li e n d a an,wh c i e mph ss h n e i I tg a,t e mo e a c r t y o ft e I d f i I tg a sd f e g i i e i e i ih gv s e a i

o h mp r n e o e I tg a n e v la d p o i e o v n e c o n e s n i g c re t t n wld e s s n t e i o t c ft n e r lI t r a n r v d s c n e i n e f ru d r t d n o r c l i k o e g y— a h a y st em .

Ke wo ds:h n e n t n e r l rgn lf nci n;i e a n e v l n e r lv ra l y r te i d f ie i t g a;o ii a u to i ntg li tr a;i tg a a b e;i tg a u ci n r i n e r lf n to

(接第 7上 O页 )

O n t e S s a n b e Co t o fG a d n Pl n s a e& I s c ss h u t i a l n r lo r e a tDie s s n e t Pe t

L U

a e g I Xi o— f n( eeU ie i, z hn og 70 5, hn ) H z nvrt HeeS adn 4 1 C ia sy 2

Absr t As t r r a y ids o o tac: hee a e m n kn f c mpl ae l n s a e a d i e tp ss t e s san b e c nto f i t d p a tdie s n ns c e t c h u ti a l o r l o.

te ut eb sdo a ign tr’ e— dut gait,adma tiigeooi l a n ea db n f i h m m s b ae nrin a e s l a js n bly n i a n cl c l c n e e ca s u sf i i n n g ab a i lcr l . S h ol wi g m e s r sa e i e i b e:s v r l n u r n i e p e e to fi v so ft e p a tdie ice otefl o n a u e r n vt l a e e e p a tq a a tn r v n i n o n a i n o h l n s a,

s sa d i s c e t e n n e tp ss,r a o b e c lo a in o l n s e ucin i h e o he c l i r v n e h oo y。s . e s na l o l c t fp a t,r d to n t e us fc mia s mp o i g tc n lg o e,

1ci g u i g p sii e,r d c n o l t n,e tnsv h sc la d b oo ia r v n i n a d c r e tn sn e t d c e u i g p lui o x e ie p y ia n i lgc l p e e to n u e,

sr n t e i g te g n n h

g re itn n e n mp o ig pa t Srss n e ad n mane a c,a d i r vn ln’ e it c . aK e o ds: a d n p a t yw r g r e ln s;p a tdie s n n e tp s;s sana l o to l n s a e a d i s c e t u t i b e c nr l.