四元数矩阵的实表示与四元数矩阵方程

200 2 66 ( 4A): 5 78一 5 8 4,

.颧磷枷汕数学物学报四理元数矩阵的实表示与四元矩阵数方姜同程松(沂师范临院数学系临沂学 7 6 200 5;山东大计学算科机学与技术学济院南2 5 1 00 )0

*魏生华木东师 大学数范学系上海 2 000 6 2 )

摘要四 (元矩数阵与四数元阵方程矩在学和工力程间题的理论研究和际数实值计中都起到算重要作用的几该文借助四元数矩阵的实表示方研法究了般一四元矩阵数方程 A B x一 YcD 二E,

:

s’ th的解的题给出问了一种求解四元数矩阵方程算法的技巧该还得到文了 四元数矩阵的Ro.,

定理.

关词矩阵方扭程四元数;矩阵;实表示;解: .

2 00 0)主肠分类R (M:

1A52 1一

中图分类号:

02 41 6

.献标识码

:文A

文章号编:

010 3 9 983 (20 60) 0 4 5冬7 70

1一

言引年来,

,近 2随]着四元数矩阵四与元数矩阵方程量在子学力中的应用日趋重要和广泛 1.

四元数力学的不断发展,

对元数矩四阵程方,

XA B一Cy D= E的一进认步识和研究就显得

越来.越重

.要由四元于乘数法的非交性换

,

给这 .面的方究研和用带应来了大的较困难,

,众所周复知矩阵方 程在纯粹应与数学中用被广已泛地关和研注究并且得到了多许很3例好的结果一在文【献[C c D的)法方研究了复阵]矩中 我们借助矩阵对的标关联准分解 ( 0,

程方A X

,的解存在且唯一性的充分必条要件而且 得还了到复矩阵程方A XB +C Y D= E的一般显示解表示式文在献 0 1【]中作者借四元助数的表复示方法研究了四元数矩阵方程A xB 一c XD= E解的间题,.

B+C DY= E

解的间题不仅给出复矩了阵方,程,

AX B+ YDC E=.

在本文中们我助借四元数矩阵的表实示方法研一究般元数四矩阵方程A x B一C Y 二 ED解的间题给出一种求一解般四元矩数阵方程 xAB一C D Y= E解方的法巧本技还得文,,, .

t到h了四元数上域的 oR

,s

理一定C,,.令 R表示实数产域二J Z

=,护

二一1.

,勺Fm二

表复数域示 Q= oRR感。 Rj¹ Rk 表四元示数域其 一中 T二办 k对任意四元矩数阵 AA和分万表别示四元矩数阵 A的,

转置共和扼 矩阵,x牲表示域

F上

x二

n阵矩的合

集

.先回首想下两一个特复殊阵方程矩 X A一X B二C和 X一A X B二知道这是个重两要的复矩阵方程如果矩阵程 A方 X一 xB二 c和 x.

C

解的性的质大一家 AxB= c有解,

.

我 .们很有多方来法得这求个两阵矩程的解方

.令E

〔Acm:

”

n t,

B〔C一””‘,

‘C任 C”爪

.11给出 T下列两个理引文献{}稿收日期m茵l:02奋一01 0;5l l@ 16 m3a

订日修e期o:

2 0尔01 2一3

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金项荃

目家自然科国学 金基 (10 3 7 0 4 1)和山东省然科自学金基助资

四元数矩阵的实表示与四元数矩阵方程

N

o.4

姜同松等11 .

:

四元数矩 的阵实表示四与元数 阵矩方A程一XX B=C‘597

引理t Ro (

h 定、理 )

)(复矩阵方程l、‘.

有解且当仅当

加肠 习叭卜习相n似于

且复阵方矩程 A

X

X一 B=C

一唯有一解当且仅当复矩阵有解且当仅当A

与复矩

阵B

没公有共征值特;

( )2矩阵复方程A X

YB= C 加 习户n 自习矛

、,‘

价等于引理

12

(l )复 .矩方程 X阵r an

一

A B X= C

解当且有当k仅 (。爪一 A BÀ T;

,

(爪 k。一 A。刀T

)=ra

veneC ))(

,其中。表示

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c

ke

积r,

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(2 )复矩阵方程X一 A B分别是复X矩 A和阵复阵矩 B算子=‘C有唯一解当且仅当入均并 1中^ l…的其特值征,

表示v e“.e

,,,

,

、入和…脚脚,,

2四元矩阵数的表示实

任对意四元矩数阵A=

:A+A艺+ Z 3 A+) A4 k任mQ

几火,。,,A I R‘爪火九 (l= 213 4)

,定义

A

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A3 Al43A一4A3一A ZI

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A“实矩阵 A为四称元数矩 A的实表阵矩示阵 (简称表示实 )

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四元数矩阵的实表示与四元数矩阵方程

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中几是其令亡 tx单位阵矩‘”,.

, AB任Q,

〔

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,c

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.

由实表示的定义容易到得下结列口,

.论 (A+ B

)

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,

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a

A『

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A C口口

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R豁严凡‘

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..A“

凡

‘A

‘ 122 3 )得易元四数矩阵实由表示的定义 ( )及(

A可逆当 仅且当实表矩示阵A

“

可逆

.

3

四元数矩阵方程 AX一B y C刀=E在这一节中,

们借助四我元数矩阵的表示实方法研究四元数阵方程矩A BX一 YC D E=31) (.

的的间解

题qn B“ Qo,eo饥QD任 Q‘中 A其任 Q f 3)首先定义列下四数矩阵元方程 (1的实表示矩方阵程,‘

,

x

,s‘,X q

,

召任

,Q X

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二

口

3 E2 )(. )四3元数矩阵方程 (1等于价.AX

口口

Ba一

口C DY口

『二 E

a

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31即元四数矩阵方程( )有解X”任 B Q”定理3 1令 A.

,

Y

.x

,3 2)有解 U二 X‘ V二 Y当且仅当实表示阵方程矩( x x〔 Q xp qC任 m xQD 任,Q刀 q任 Q m则q四元数矩,阵

.“,

,s,

.

3 1 yX)方程X ( )有四元数矩阵解 Z(“, 2v R Z任,v )任u U a实阵解矩( .

,,

任,

Q

,

“,

x

Z,

‘. 2 )有 3当且仅当 表实示矩阵方程( 3 2 ),V )是实表示矩阵方程 (U在这种况下情若”x

(p,

Y任Q

‘

x‘,

的 .实矩阵解

,31则下列矩阵对四是元数 矩方阵程 )(解的.

.

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四元数矩阵的实表示与四元数矩阵方程

.4

姜松等同,

,:

四元数矩阵实表的示 四元与矩阵方数程 !1 Q;。 58

1 J、 ) (61一几 I s1并

且3 2 )有一唯若实解表示矩阵方程(证令,.

,

1则3四元数矩阵方程 ()有唯一解

.lU l

U

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..

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‘U凡

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)解的.

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四元数矩阵的实表示与四元数矩阵方程

52

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一

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‘‘31显然 二x Y二口亡此因x Y是四元数阵方程矩()解的 2四最后若实表示矩阵方 s (程 )唯有一解显则然元数矩阵方程 ( .a 1 )有一唯解,.

.

,

,.

.1

仅不给出了四 数元矩阵方程定理注)有解的充分必要 条件而且还给出 13 l 3四了求四 1元数阵方程矩(解的一方法技 一当巧元 有解时)可由公式) 种矩阵方程 ( .数 4)通过实表示矩阵方程( 3 . 2 )的解得到元四矩阵方数程( 3 31 ( 解 )理定3 1关键的技巧是

.3 131.

3(

.,

.、,

.

..

借助四元矩数的阵表示实法方解间.

题

,四将元数阵矩方解的问题程转变为相应实表示矩方程阵的4

几特个的殊四元矩数阵方程在一这节中

,我们定由理A〔 31

.讨论个几特的殊四元数矩阵方程解的间的题Qpx

.

定理方

U任程”x4 1

.

令

Q

又,”,

B任

,qx〔 Q”

C‘,D‘Q

“q,

E〔 Q,

,x

q.则四数元矩阵

四元有矩数阵 X解 Q〔且当仅当其实表示矩阵方程有矩实阵解 U在种情这况下若是其表实示矩方阵的实程矩阵解则列矩下是阵四元数矩护一 C XD二 E的解A B X方阵知程,

,

AX B.一 XC D E二

” x

们p瓦户,大=几1丽 (

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+允刃 U‘

‘+

“妈U

)饰并

,且

若其表实示矩方阵程有唯一则解四元数矩方阵程 x A” Q任””B Q“,.任,

AXB.

一

口尤D E

二有一解

.唯

令“

,C Q任

m“

.由理引

. 1

、

引理112和定理

1 3.容易得到下列

两个论结理定42

.h o( tR

,

s )四元数矩阵方程 l理 )定(‘吸 .了、、/口A口 0 C口BAX一 XB二 c .‘

一有解当且仅当

、、户./

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四元数矩阵的实表示与四元数矩阵方程

.o4

姜同松等

:四数矩元阵的实表示与元数四矩方阵

程

538相似

于、.了,、

、/户0A严

o、、, .、 Z

复且矩阵程方 xA

一 B x二C有唯一解当且仅当复矩阵A“复与矩阵BAX一 Y B二

C“

有公共没特征;值2) 元四矩数阵方 (程有一解当且仅当了 、. .夕、万、.了了、/

0 0

、产护尸俨

o、矛 .、 .刀、、.了/.、

等价于

.定理 4

3 )四数元矩阵方 X程l( ra一

AX B C=一

有解当仅且当1 (kn

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(,四元数阵矩方程口

X一A XBC

‘

分别是复阵 A矩和矩阵复B… 14 .2和定 4理 3知 .四若数元矩阵方程 A X一 BX= 和CX一 A X B二 注C由定理 4有 则解相其的应表实示 矩阵程方有解这在种情下通况可过由实表其示矩阵方程的解得到 元数矩阵四程方A X一X B= C X一 A X和B=C 解“令1 A任Q口m任Q m定由理 4 易得1列结论下r anx k (A口 )口= r an k A( )且推若 4论1 l()四元数线性程方组 A=口解有当且仅当二; 。 r n k( A)= 4则四元数线性程方组 A=口有唯一解 a (2) y是线性若程方组A y二口的一实解则.,有唯一解当仅当凡巧护且1其中人…特征的值,,,入

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‘

YS

:)是元数线性四程方组 A= 的口解本文借助四元数 矩阵的实示方表.法x

,研究一般了四元数阵矩方程.

X AB

一YCD= E的

h、解间的题给出一了求解种元四数矩方阵程的算法技巧文本还到得四了元数矩阵的 oR七定理本文的一个要技巧主借是助四数矩阵元的实表示方法四将元数矩阵方程的间题转解

.

,,变相应为表实示矩方阵的程解问 相题信 四元矩数阵这的方一法技巧将会在现代 四元数学力的理论研究和数值算计中起到重要作用并将的会促进现四代元学科的数发展.,

.584

四元数矩阵的实表示与四元数矩阵方程

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