大一高等数学 第一章第二节 数列的极限

第一章

数列的极限一、数列极限的定义

二 、收敛数列的性质三 、极限存在准则

目录

上页

下页

返回

结束

一 、数列极限的定义引例. 设有半径为 r 的圆, 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知π n

r当 n 无限增大时, 无限逼近 S . (刘徽割圆术)

数学语言描述: 0 , 正整数 N , 当 n > N 时, 总有An S 刘徽 目录 上页 下页 返回 结束

定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 及常数 a 有下列关系 :

若数列

当 n > N 时, 总有则称该数列n

的极限为 a , 记作或 xn a (n )

lim xn a

a xn a 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . (n N )

几何解释 :(

a x N 1

x N 2

a 目录 上页

)

即 xn U ( a , )

(n N )返回 结束

下页

1 2 3 n , 例如, , , , , 2 3 4 n 1 n xn 1 ( n ) n 1

收 敛

xn n

n ( 1) n

n 1

1 ( n )

2 , 4 , 8 , , 2 , n xn 2 (n )

发 散

xn ( 1)

n 1

趋势不定目录 上页 下页 返回 结束

例1. 已知

证明数列n ( 1) nn

的极限为1.

证: xn 1 0 , 欲使1

1

即

1 只要 n

因此 , 取 N [ ] , 则当 n N 时, 就有 n ( 1) nn

1 n

故

n

lim xn lim

n ( 1) n

n

1目录 上页 下页 返回 结束

例2. 已知 证: xn 0 (0 ,1) , 欲使1

证明 1 (n 1)2

1 n 1

只要

1 n 1

1 , 即 n 1.

取 N [ 1] , 则当 n N 时, 就有 xn 0 , 故n

lim xn lim

( 1)

n 2

n ( n 1)

0

也可由 xn 0 1

1 ( n 1)2

说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N 不一定取最小的 N . 1 故也可取 N [ ]目录 上页

1

下页

返回

结束

例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为0 . 证:xn 0

欲使 亦即 n 1

只要ln ln q .

即

ln 因此 , 取 N 1 , 则当 n > N 时, 就有 ln q

q

n 1

0 n 1

故

n

lim q

0目录 上页 下页 返回 结束

二、收敛数列的性质1. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取n

及

且 a b.

因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时, 从而 xn a b 2

同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有n

从而 xn a b 2矛盾, 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一.目录 上页

取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, xn 满足的不等式 a b 3 a b b a xn b b a xn n b a a b2 a x 3 a b 2 2 2 2 22下页 返回 结束

例4. 证明数列 证: 用反证法.

假设数列

是发散的.

收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .

取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时, 有 2a 1 xn a 1 2 2

但因 xn 交替取值 1 与-1 , 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 ( a 1 , a 1 ) 内, 因此该数列发散 . 2 2目录 上页 下页 返回 结束

2. 收敛数列一定有界. 证: 设xn a 1, 从而有

取 1 , 则 N , 当 n N 时, 有

xn a a 1 a

取 则有

M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .

由此证明收敛数列必有界.说明: 此性质反过来不一定成立. 例如, 数列 ( 1 )n 1 虽有界但不收敛 .

目录

上页

下页

返回

结束

3. 收敛数列具有保号性. 若 且( 0)

有( 0)

证: 对 a > 0 , 取

推论: 若数列从某项起( 0)(用反证法证明)目录 上页 下页 返回 结束

( 0) .

4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .证: 设数列 若 是数列

的任一子数列 .时, 有

则 0 , N , 当

现取正整数 K , 使nk

于是当 k K 时, 有xN *********************

N

N从而有 x n a , 由此证明 lim x nk a . kk 目录 上页 下页 返回 结束

说明: 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极

限 , 则原数列一定发散 .例如， 发散 !lim x 2 k 1

k

三、极限存在准则夹逼准则; 单调有界准则; *柯西审敛准则 .目录 上页 下页 返回 结束

1. 夹逼准则 (准则1) (P50)(1) yn xn z n ( n 1, 2 , )(2) lim yn lim z n an n n

lim xn a

证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,

当当

时, 时,

令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有由条件 (1)a y n xn z n a n

即 xn a , 故 lim xn a .目录 上页 下页 返回 结束

例5. 证明证: 利用夹逼准则 . 由 n 2 2 2 2 n π n 2π n nπ n π 1 1 1n2

且lim n2 2

n π n 1 n 2 1 1 1 lim n 2 2 2 1 n n π n 2π n nπ n 目录 上页 下页 返回 结束

lim

1π

1

2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 ) ( P52 )

n

lim xn a ( M )

a

n

lim xn b ( m )

b

( 证明略 )目录 上页 下页 返回 结束