正弦型函数的图像与性质

函 数 y=Asin( x+ )的图象

2013-9-13

物理背景在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间x的关系、交流电 的电流y与时间x的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都 是常数).2013-9-13

函数y=Asin(ωx+φ),其中(A>0, ω >0)表 示一个振动量时， A就表示这个量振动时离开平衡位置的最 大距离，通常称为这个振动的振幅； 往复一次所需的时间 T 2

振动的周期；2013-9-13

,称为这个

称为振动的频率；

1 单位时间内往复振动的次数 f , T 2

x 称为相位；x=0时的相位φ称为初相。

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知识回顾:y1-

y sin x x [0,2 ] 6

-1

o-1 -

2

3

2 3

5 6

7 6

4 3

3 2

5 3

11 6

2

x

在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有： 最高点： (

22

,1)

最低点： ( 3 , 1) 与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0) 在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 2013-9-13 数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。

新课讲解:1 例1 作函数 y 2 sin x 及 y sin x 的图象。 2

解：1.列表

xsin x 2 sin x

0 0 0 0

2

3 2

2 0 0 0

1

0 0 0

1

2

2

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1 sin x 2

1 2

1 2

2. 描点、作图：y 2 1 O 1 2

y=2sinx y=sinx2 x

y=

1 sinx 2

周期相同2013-9-13

y 21 O 1

y=2sinx y=sinx2 y 2 x

1 y= sinx 2 2

12

O 1 22013-9-13

x

一、函数y=Asinx(A>0)的图象

y

21

y=2sinx

2 O 1 2 x

y=

1 sinx 2

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(A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ,x∈R的值域为[-A,A],最 大值 为A,最小值为-A.

函数y=Asinx

思考：函数y f ( x)与函数y Af ( x)的图象有何关系？

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y sin 1 x 的图象。 例2 作函数 y sin 2 x 及 21. 列表：x2x sin 2 x00 0

4 2

2

3 43 2

2 0

1

0

1

2 y 2. 描点：

y=sinx2 3 x

连线:

1 O 1

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2

y=sin2x

1 对于函数y sin x 1. 列表： 2x1 x 2sin 1 x 2

0 0 0

2

2

3 3 2

4

2 0

1

0

-1

2. 描点 作图：y

1 O2013-9-13

1 y=sin x 22 3 4 x

1

y=sinx

y 1 O 1

1 y=sin 22

x3 4 x

y=sinx

振幅相同y=sin2x

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二、函数y=sin x( >0)的图象y 1

y=sin1 x22

O

3

4 x

1

y=sin2x

y=sinx

y=sin 1 x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 2 有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)。2013-9-13

2

( >

0且 ≠1)的图象可以看作是 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当 >1 1 时)或伸长(当0< <1时) 到原来的 倍(纵坐标 不变) 而得到的。

函数y=sin x

思考：函数y f ( x)与函数y f (k x)的图象有何关系？

练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图 ：

(1) y sin 4 x2013-9-13

1 (2) y sin x 3

(3)

1 1 y sin x 的图象与y sin x的图象的关系： 2 2图象上各点纵坐标

1 sin x 图象上各点横坐标 1 sin 1 x y y y sin x 2 2 伸长为原来的2倍 2 缩短为原来的一半1

y 1 sin x 22

O

3

4 x

12013-9-13

y sin x

1 1 y sin x 2 2