复变函数 第四版 (西安交通大学高等数学教研室 著) 课后习题答案 高等教育出

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习题一解答

1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。 （1）

113i(3+4i)(2 5i)； （4）i8 4i21+i

； （2） ； （3）

2ii1 i3+2i

13 2i1

=(3 2i) =

3+2i3+2i3 2i13

解 （1）所以

2 1 1 3

Re =，Im = ,

13 3+2i 13 3+2i

111 3 3

= + ==(3+2i)，，

3+2i133+2i13 13 13

1 1

Arg =arg +2kπ

32i++32i

2

= arctan+2kπ,k=0,±1,±2,"

3

i35113i3i(1+i)（2） == i ( 3+3i)= i,

222i1 ii i1 i(1+i)

2

2

所以

13i 3

Re =, i1 i 25 13i

Im =

2 i1 i

13i 3 5 13i 35

= + =， =+i，

i1i2 i1i2222 13i 13i

Arg =arg +2kπ i1 i i1 i

5

k=0,±1,±2,". = arctan+2kπ,

3

(3+4i)(2 5i)=(3+4i)(2 5i)( 2i)=(26 7i)( 2i) （3）

2i 2i2i4

=

7 26i7

= 13i 22

7 (3+4i)(2 5i) Re = ，

2i2 (3+4i)(2 5i)

Im = 13，

2i

22

所以

3+4i2 5i 7

= +l3i

2i2

(3+4i)(2 5i)=5

2i

， 2

26 (3+4i)(2 5i) (3+4i)(2 5i)

=Arg arg+2kπ=2arctan π+2kπ 2i2i7

=arctan

26

+(2k 1)π,7

k=0,±1,±2,".

（4）i8 4i21+i=i2 4i2i+i=( 1)4 4( 1)10i+i

=1 4i+i=1 3i

()

4

()

10

所以

Rei8 4i21+i=1,Imi8 4i21+i= 3

821821 i 4i+i =1+3i，|i 4i+i|=

{}{}

Argi8 4i21+i=argi8 4i21+i+2kπ=arg(1 3i)+2kπ

= arctan3+2kπ

2．如果等式解：由于

x+1+i(y 3)[x+1+i(y 3)](5 3i)=

5+3i5+3i5 3i=

5(x+1)+3(y 3)+i[ 3(x+1)+5(y 3)]

34

1=[5x+3y 4]+i( 3x+5y 18)=1+i 34

k=0,±1,±2,".

x+1+i(y 3)=1+i成立，试求实数x, y为何值。

5+3i

()()

比较等式两端的实、虚部，得

5x+3y 4=34 5x+3y=38

或

xyxy 3+5 18=34 3+5=52

解得x=1,y=11。

3．证明虚单位i有这样的性质：-i=i-1=。 4．证明

1)|z|2=#6)Re(z)=

11

(+z),Im(z)=(z 22i

证明：可设z=x+iy，然后代入逐项验证。

5．对任何z，z=|z|是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对z那些值才成立？

解：设z=x+iy，则要使z=|z|成立有

2

2

2

2

x2 y2+2ixy=x2+y2，即x2 y2=x2+y2,xy=0。由此可得z为实数。

6．当|z|≤1时，求|zn+a|的最大值，其中n为正整数，a为复数。 解：由于z+a≤|z|+|a|≤1+|a|，且当z=e

n

nn

i

argan

时，有

iarga n

|z+a|= en +|a|eiarga=(1+a)eiarga=1+|a|

故1+|a|为所求。

8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。

（1）i； （2）-1； （3）1+3i；

(cos5 +isin5 ) 2i

（4）1 cos +isin (0≤ ≤π)； （5； （6 1+icos3 isin3 2

iππ

解：（1）i=cos+isin=e2；

22

π

（2） 1=cosπ+isinπ=eiπ

π

i 1 ππ =2 cos+isin =2e3； +i（3）1+i=2

22 33

1 cos +isin =2sin（4）

2

2

+i2sin

2

cos

2

=2sin

+sinicos

2 22

π

2

iπ π

=2sin cos+isin =2sine

2 22 2

（5）

12i11

i=2i( 1 i)=1 i=2 1+i22 2

ππ =2 cos isin

44

,(0≤ ≤π)；

=2e

i

π4

2

(cos5 +isin5 )（6）3(cos3 isin3 )

=(ei5 )/(e i3 )=ei10 /e i9 =ei19

23

=cos19 +isin19

9．将下列坐标变换公式写成复数的形式： 1）平移公式：

x=x1+a1,

yyb;=+ 11

2）旋转公式：

x=x1cosα y1sinα,

y=x1sinα+y1cosα.

iα

解：设A=a1+ib1，z1=x1+iy1，z=x+iy，则有 1）z=z1+A；2）z=z1(cosα+isinα)=z1e。 10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？ 则z( i)=|z|eiArgz e解：设复数z=|z|eiArgz，辐角减少

iπ

2

π

i Argz

2

=|z|e，可知复数的模不变，

π2

。

2

2

2

2

11．证明：|z1+z2|+|z1 z2|=2(|z1|+|z2|)，并说明其几何意义。 证明：|z1+z2|+|z1 z2|

2

2

=(z1+z2)(z1+z2)+(z1 z2)(z1 z2) =2(z1z1+z2z2)

=2(|z1|2+|z2|2)

其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12．证明下列各题： 1）任何有理分式函数R(z)=

P(z)

可以化为X+iY的形式，其中X与Y为具Q(z)

有实系数的x与y的有理分式函数；

2）如果R(z)为1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么R(=X iY；3）如果复数a+ib是实系数方程

a0zn+a1zn 1+"+an 1z+an=0

P(z)P(z)Q(z)Re(P(z)Q(z))Im(P(z)Q(z))

==+; Q(z)Q(z)Q(z)q(x,y)q(x,y)

的根，那么a ib也是它的根。

证 1）R(z)=

2）R()=3）事实上

P() P(z) == =X+iY=X iY; Q( Q(z)

P()=a0n+a1n 1+"+an 1+an

=a0+a1z+a2z2+"+anzn=Pz

13．如果z=eit，试证明 （1）zn+

11

=2cosnt； （2）zn =2isinnt zz

解 （1）zn+

1

=eint+e int=eint+e=2sinnt nz1

（2）zn n=eint e int=eint eint=2isinnt

z

14．求下列各式的值 （1）

3 i)； （2）(1+i)； （3）

5

6

1； （4）(1 i)

13

解 （1）

i

i= 2 =2e

iπ/6

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