高数上册期中测验答案

高数上册期中测验答案

- ，求lim x 。

解：

lim=

 ==⒈设

xn =

n ®¥

n 

n®¥

nn = 2 。

⒉求下列极限

⑴

 n 0 p 解：

Q  === 0 ，而2+arctann<2 ，即2+ arctann 有界，

 n1 2 n \x

n 2 

n = 0 。

⑵lim2n n ®¥

解（一）： lim2n sin

n®¥

x 

=limn 

2 n®¥

x sin

xx 

n 

n=x= x （利用重要极限）

n ®¥ xx

n 

2n2 

（二）：lim2nsin

n®¥

xn x =lim2 = x （利用等价无穷小代换）。 n 

2nn ®¥ 2 

- x 

cos(xex)- cos(xe ) ⑶ lim3 x ® 0 x

æxex+xe-xöæxex-xe-x

-2sinçsinç÷22èøè=limx®0x3- x 

öæxex+xe-xöæxex- xe ö

- 2 ÷ç÷ç÷ 22 ø= limèøèø

3 x ® 0 x

( e

=-lim

x®0

x

+e-x)( ex-e-x) 2x

x 2 

( e=- x ® 0 x 2 

x

2 x 

+e-x) e- x( e - 1 ) 

2 x

x 2 

=-lim( e+e

x

x®0

-x

) e 

- x 

( e 

lim

x ® 0 

2 x 

- 1 ) 

2 x

=- 2 。

1 ö æ1 ö ælim1 ç2 ÷ ç1 + 2 ÷ x ®¥ æx 2 + 1 ö ee x èø =2 

⑷ lim ç2 ÷ =lim ç。 === e ÷ 22 - 1 x-x (- 1) x ®¥ x - x ®¥ 1 1 e èø 1ö1 ö ç1 2 ÷ ææ

lim1-lim1 çç2÷2 ÷ x ø èx®¥x ®¥

èxøè- x ø

⑸

x ® =lim( 1-2xx®0

x + 1

x

=lim( 1-2x)

x®0

1

1 x

=lim( 1-2x) lim( 1-2xx®0

x®0

1 

x 

1 

ìü - 2 

- 2 x =limí[ 1+(-2x) ]= e ý x ® 0 

îþ

- 2 

e2 -( 1 + x )e2 - e ⑹ lim=limx ® 0 x®0x x

2 

x 

2 x 2 ln( 1 + x ) x 

-e= x ® 0 

2 

ln( 1 + x ) x 

21 ù é2

-ln1 +x ( ) 2 êx1 + x ú ëxû 1 

é2x-2( 1+x) ln( 1+x) ù -2ln( 1 + x ) 2 2

=lim-( 1+xlimê=-e= e 。 ú 2x®0x®0x ® 0 3x2 + 2 x(1+x)x ëû

é3x-sin3x3x-sin3x3- 3cos3 x 3sin3 x ù

=lim=lim= ⑺ lim ê2 ú x ® 0 ln(1-10x2)30 x 2 xln(1- 10x ) û x®0xln(1-10x2)x®0x(-10x2)x ® 0 - ë

=-13sin3x 9 

=。 10x ® 0 2x 20 

ì x + 2 

,                              x £ 0 2 ï x + 1 

⒊已知函数

 f(x ) = ，求 limf(x),limf(x ) 。

x®0 x ®¥

    x > 0 解：因为 limf(x )=lim

x®0-

x + 2 

= 2 ，

2 -

x ® 0 x + 1 

x®0

lim+f(x )=lim+

x®0

= x ® 0 

=2lim+

x®0

sinx ， x ® 0 x x ® 0 

x ® 0 

所以 lim-f(x)¹ lim+ f(x ) ， limf(x ) 不存在； 

x®0

x®-¥

limf(x )=lim

x + 2 

= 0 ，

 limf(x )=lim= 0 ， 2 x ®-¥ x x®+¥x ®+¥ + 1 x ®+¥

x ®¥

所以 limf(x)=limf(x )= 0 ，故limf(x )= 0 。

x®-¥

⒋求函数 f(x ) ln(1+ x ) 

的间断点，并指出其类型。 2 

x- 2 x

解：函数 f(x ) 的定义域为( -1,0) È( 0,2) È( 2, +¥ ) ， x= 0 和 x= 2 是 f(x ) 的间断点。

)1ù 1 éln(1+ x 因为 limf(x )=lim ê=，所以 x= 0 是 f(x ) 的可去间断点，是第一类间断点， ú x®0x ® 0 x - 2û 2 ëx1x2 - 2x 0 又 lim=lim== 0 ，所以 limf(x ) =¥，于是 x= 2 是 f(x ) 的无穷间断点，属于第二 x®2f(x)x ® 2 ln(1+ x x ® 2 )ln3 类间断点。

⒌证明方程 x=asin x+ b ，(a>0,b > 0) 至少有一个正根，并且不超过a+ b 。

证明：令 f(x)=x-asin x- b ，则 f(x ) 在[ 0,a+ b ] 上连续， 又 f(0) =- b …… 此处隐藏：1853字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……