高中数学知识要点

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第一章 集合与简易逻辑

第一节：集合：1、集合的基本概念：某些指定的对象集在一起就成为一个集合。集合中的每一个对象叫做这个集合的元素，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A 记作a ∈A ，如果a 不是集合A 的元素就说a 不属于A ，记作a ∉A 或a ∈A 。

2、集合中元素的三个性质：确定性，互异性，无序性。常称此为集合的三要素。

3、常用的数集的符号：（1）自然数集（即非负整数集）：N ，（2）正整数集：N ﹡*，或N +，

（3）整数集合：Z ，（4）有理数集：Q ，（5）实数集：R 。

4、不含任何元素的集合叫空集，记作：φ, 只含一个元素的集合叫做单元素集。

5、集合的分类：根据集合中元素的多少分为无限集，有限集，空集。

6、集合的表示方法：（1）列举法：在｛｝里将元素一一列出。（2）描述法：常有两种方式：如｛四边形｝＝｛x |x 是四边形｝注：下面表示不妥｛实数集｝、｛所有实数｝（3）图示法（韦恩法）：用封闭的曲线表示。

第二节：子集，全集，补集：1、子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，就说集合B 包含A ，记作A ⊆B （或说A 包含于B ），也可记为B ⊇A ，此时说A 是B 的子集，任何一个集合是它本身的一个子集，即A ⊆A 。规定空集是任何集合的子集，即φ⊆A ，如果A ⊆B ，且B ⊆A ，则A ＝B 。如果A ⊆B 且B 中至少有一个元素不在A 中，则A 叫B 的真子集，记作

空集是任何非空集合的真子集。

2、含n 个元素的集合A 的子集有2n 个，非空子集有2n －1个，非空真子集有2n －2个。

3、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合称为全集，通常用U 表示。

4、补集（也叫余集）：设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，则由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作C s A ＝{}A x S x x ∉∈,

第三节：交集、并集：1、交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A ∩B ，读作A 交B 。即A ∩B ＝｛x |x ∈A 且x ∈B ｝

2、并集：由所有属于集合A 或集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作A 并B 。即A ∪B ＝｛x |x ∈A 或x ∈B ｝

3、重要性质：（1）A ∪A ＝A ，A ∩A ＝A ，A ∩ø＝ø，A ∪ø＝A ， A ∩A C U ＝ø，A ∪A C U ＝U

（2）A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B ，A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，（3）U C （A ∩B ）＝（U C A ）∪（U C B ） ，U C （A ∪B ）＝（U C A ）∩（U C B ）（4）A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔ B ⊆A

第四节：含绝对值不等式的解法：1、三个结论（1）|x |＜a 的解集为｛x |－a ＜x ＜a

} (2) |x |＞a 的解集为｛x |x ＞a 或x ＜-a }(3)0＜a ＜|x |＜b 的解集为｛x |－b ＜x ＜-a,a ＜x

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＜b }

2、去掉多个绝对值符号的常用方法有：（1）分段讨论法（2）利用绝对值的定义（3）数形结合或利用公式－||a|-|b||≤|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|，a b a b --≤-

第五节：不等式的解法：1、一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax ﹥b 的形式，若a ﹥0,则x ﹥a b ;若a ﹤0,则x ﹤a

b ; 2、一元二次不等式的解法：设a ﹥0,x 1,x 2方程ax 2+bx+c=0的两实根，且x 1﹤x 2，一元

二次不等式的解集如下表：

3、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）化为若干个一次因式的积，并使每一个因式中味知数的系数为正，（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇次前进偶次折回。（3）根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。

4、 分式不等式的解法：分母恒为正时可去分母。分母不恒为正时不能去分母，应先移项使右边为0再通分并将分子分母分解因式，最后用标法求解。

5、 对含字母的不等式要注意进行讨论，而且讨论要合理，分类要恰当，层次要清楚。

第六节：逻辑联结词：1、逻辑联结词与命题、命题的分类：“或”“且”“非”这些词叫逻辑联结词。判断一件事情的语句叫命题。不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫复合命题。

2、复合命题的形式及真值表：（1）“非P ”的复合命题的真假与命题“P ”的真假相反。（2）“P 且Q ”形式的复合命题的真假，只有命题“P ”与“Q ”都为真时才为真，否则为假，（3）“P 或Q ”形式的复合命题的真假，只有命题“P ”与“Q ”都为假时才为假，否则为真。

第七节：四种命题：1、一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用﹁p 或﹁q 分别表示p 和q 的否定，则四种命题的形式是：（1）原命题：若p 则q ，（2）逆命题：若q 则p ，（3）否命题：若﹁p 则﹁q ，（4）逆否命题：若﹁q 则﹁p ，

2、四种命题的真假关系：一个命题与它的逆否命题是等价的，其逆命题与它的否命题也是等价的。

3

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4、反证法：是从要证明的结论的反面出发，推出一个矛盾的结果，从而得到原结论成立的证明方法。有些问题直接证明时条件很少或无法从正面得到结论，但用反证法较易。用反证法证题的步骤是：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题的反面成立，（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出与已知或学过的定理、公理等相矛盾的结论。（3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立。

反设就相当于添加了一个已知条件，因此更便于推理论证。

5、要注意区别“否命题”与“命题的否定”：若原命题是“若P则Q”，则这个命题的否定是“若P则非Q”，而它的否命题是“若非P则非Q”。

第八节：充分条件与必要条件：1、一般地，如果已知p⇒q,则称p是q的充分条件，q是p的必要条件，p的一个必要条件是q,q的一个充分条件是P。

2、如果既有p⇒q又有q⇒p，记作p⇔q,这时p是q的充分必要条件，简称为充要条件。

第二章函数

第一节：函数：1、映射的定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对集合A 中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A 到集合B的映射，记作：f：A→B，

2、像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B 中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

3、映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像，（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个，（3）方向性：从A到B的映射与从B到A 的映射一般是不一样的（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

4、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x,y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y 是从A到B的城市污染，那么，从A到B的f：A→B，叫做A到B的函数，y=f(x),其中x ∈A,y∈B,原像集合A叫做函数f(x)的定义域，像集合C叫做函数f(x)的值域。像集合C⊆B

5、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

6、求函数定义域的常用方法有：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等。（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）根据相关解析式的定义域来确

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定所求函数自变量的范围。（4）复合函数的定义域：如果y 是u 的函数，而u 是x 的函数，即y=f(u),u=g(x)，那么y=f [g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫做中间变量，设f(x)的定义域是x ∈M,g(x) 的定义域是x ∈N ，求y=f [g(x)]的定义域时，则只需求满足⎩⎨

⎧∈∈N x M x g )(的x 的集合。设y=f [g(x)]的定义域为P ，则P ⊆N 。

7、求函数值域的方法：（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如(),b y ax a b x

=+为非零常数的函数。（2）利用函数的图象即数形结合的方法。（3）利用均值不等式，（4）利用判别式，（5）利用换元法（如三角换元），（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式，（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）

第二节：函数的表示方法：1、函数的表示方法：（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式。（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系式。（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

2、分段函数在其定义域的不同子集上，其对应关系分别用几个不同的式子来表示，这种表示形式的函数叫做分段函数。

3、求函数解析式的常用方法有：（1）待定系数法：如果已知一个函数的类型如一次函数：可设y=kx+b ，二次函数：可设y=ax 2+bx+c 。（2）换元法：如已知f(2x+1)=4x 2+1，求f(x)的解析式？

（3）替换后解方程组。

第三节：函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。

2、判断函数f(x)在区间D 上的单调性的方法，（1）定义法：其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()

()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()

12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。（3）图象法：即观察函数在区间D 上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。

3、常见函数的单调性：

（1） 一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k >0时，f(x)在R 上是增函数。2）当k <0时，f(x)

在R 上是减函数。

（2） 二次函数y=ax 2

+bx+c 1）当a >o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）

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上是减函数，在[－

a

b 2，＋∞）上是增函数，2) 当a <0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－a

b 2，＋∞）是减函数。 （3） 反比例函数y=()0≠k x k 1) 当k >0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k <0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。

（4） 形如()0,0b y ax a b x =+ ,增区间为,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭

，

减区间为,⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝图象如右： 4、复合函数的单调性：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈，若内外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间内单调递减。求复合函数的单调区间要特别注意x 的取值范围。

f(x)单调时，－f(x)一定单调且与f(x)的单调性相反。若f(x)大于0，则()2f x ⎡⎤⎣⎦f(x)的单调性相同，()

1f x 与f(x)的单调性相反。特别注意条件是f(x)大于0，否则不一定成立。

第四节，反函数：1z 、定义：设式子y=f(x)表示y 是x 的函数，定义域为A ，值域为C ，从式子y=f(x)中解出x ，得到式子x=ϕ(y),如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=ϕ(y)就表示y 是x 的函数，这样的函数，叫做y=f(x)的反函数，记作x=f

1-(y),即x=ϕ(y)＝f 1-(y)，一般对调x=f 1-(y)中的字母x,y,把它改写成y =f 1-(x )

2、求反函数的步骤是：（1）将y=f(x)看成方程，解出x=f 1-(y)（2）将x,y 互换得y =f 1-(x )

（3）写出反函数的定义域，（可根据原函数的定义域或反函数的解析式确定）（4）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。

3、反函数的一些性质：（1）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，称为互调性，（2）定义域上的单调函数必有反函数，且单调性相同（即函数与其反函数在各自的定义域上的单调性相同），对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，但非连续的非单调函数也可能有反函数，（3）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f

1-(x )的图象关于直线y=x 对称，但要注意：函数y=f(x)的图象与其反函数x=ϕ(y)＝f 1-(y)的图象相同。（对称性）（4）函

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数y=f(x)的反函数是y =f 1-(x )。函数y= f 1-(x )的反函数是y = f(x)，称为互反性，但要

特别注意：()()11,f f x f x --⎡⎤≠⎣⎦

()(){}()()111,11f g x f g x f x f x ---≠+≠+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

如的反函数，（5）函数y=f(x)的图象与其反函数y =f 1-(x )的图象的交点，当它们是递增时，交点在直线y=x 上。当它们递减时，交点可以不在直线y=x 上， 如116

111log 1624x

y y x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与互为反函数且有一个交点是，，它不在直线y=x 上 （6）还原性：()()11f f x f f x x --⎡⎤==⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 第五节：指数：1、n 次方根的定义：如果一个数的n 次方a(n >1,n ∈N *)那么这个数叫做a 的n 次方根，即x n =a,则x 叫做a 的n 次方根(n >1,n ∈N *)。

2、n 次方根的性质：（1）0的n 次方根是0。即n 0＝0(n >1,n ∈N *)，（2）n n a )(＝a(n ∈N *)

(3)当n

a, 当n 为偶数时

,

|a | 3、分数指数幂的定义：（1）()1,,,0 n N n m a a a

n m n m *∈= （2）()

1,,,011

n N n m a a a a n m n m

n m

*-∈==，（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。

4、幂的运算性质：（1）()()()()Q s r a a a Q s r a a a a rs s r s e s r ∈=∈=+,,02,,,0

（3）()()Q s r a b a ab r r r ∈=,,0 ，若a>0,P 是一个无理数，则a n

表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂都适用。

第六节：指数函数：1、定义：形如y=a x （a >0,且a ≠1）的函数叫做指数函数。

2、指数函数y=a x （a >0,且a ≠1）的图象和性质：

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3、比较两个幂的大小：（1）四种基本情况：1）同底且大于1，指数大的幂大。2）同底且小于1，指数大的幂小。 3）同指数且大于0，底大幂大，即底大图高。4）同指数且小于0，底大幂小，即底大图低。（2）基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）利用中间量。4）化同底或化同指数。5）放缩法。

第七节 对数：1、对数的定义：如果()0,1n

a b a a =≠ ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记做()log 0,1a N b a a =≠ ，由定义知负数和0没有对数。通常以10为底的对数叫做常用对数，记做10lg log N N =。以无理数e ＝2.71828…为底的对数叫做自然对数。记做ln log e N N =。

2、对数的运算性质：

()()()()()1log log log ,2log log log .3log log ,4log log ,,,,,,0,1m a a a a

a a n n a a a a M MN M N M N N n M n M

b b M N a b n m a m =+=-=∙=≠ 3、对数的恒等式：

()()()()()()log

log log 1log 10,2log 1,3,4log 15log ,log ,log log log ,,

,,0,,1log log a b b N N a a a b a a a b a b b a a N a N N N b b c c a b c N a b a a

======∙=≠ 第八节：对数函数：1、定义：形如y=log a x (a>0,a ≠1)的函数叫做对数函数。

2、对数函数的图象与性质：

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3、对数函数y=log

a

x (a>0,a≠1)与指数函数y=a x (a>0,a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的对应法则是互逆的，其图象关于y=x对称。

4、对数有关的大小比较：（1）类似指数函数分为四类： 1）同底且大于1，真数大的对数大。2）同底且小于1，真数大的对数小。3）同真数且大于1，在x轴同侧时，底大图低，（这一点与指数函数相反）4）同真数且小于1，在x轴同侧时，底大图高。（2）基本思路：1）利用函数的单调性，2）作差或作商法，3）利用中间量。4）化同底或化同指数。5）放缩法。

第九节：函数的应用：1、数学应用题的文字叙述长，数量关系分散而难以把握，因此，在解答数学应用题时要把握好两点：（1）认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象，概括，将实际问题转化为相应的数学问题，（2）要合理选择变量，设定变量后，寻找各量之间的内存联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数，方程等数学模型，从而使实际问题获得解决。

2、常见的函数模型有：（1）建立一次函数或二次函数模型，（2）建立分段函数模型。（3）

建立指数函数模型。（4）建立

b

y ax

x

=+型。

第三章数列

第一节：数列的有关概念：1、定义：按一定次序排成的一列数，记作：｛a

n ｝, a

n

表示这个

数列的第n项。如果数列｛a

n ｝的第n项a

n

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么

这个公式就叫这个数列的通项公式，从函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

2、并不是每个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式也可能有多种形式。

3、数列的图象是一群孤立的点。

4、按数列的项是有限还是无限，可将数列分为有穷数列和无穷数列，按数列的项与项之间的关系，可将数列分为递增数列，递减数列，摆动数列，常数列等。

5、如果已知数列｛a

n ｝的第一项（或前几项），且任一项a

n

与它的前一项a

1-

n

(或前几项)

间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式。递推公式是给出数列的一种方法。

6、求数列通项公式的几种常用方法：（1）观察法：通过观察数列的某些项，找出数列的项

与项数之间的等量关系，求出数列的任一项。（2）公式法：对于数列｛a

n ｝，记S

n

＝

a 1+a

2

+…+a

n

，则称S

n

为数列｛a

n

｝的前n项的和，()

⎩

⎨

⎧

≥

-

=

=

-

2

,

)1

(,

1

1

n

S

S

n

S

a

n

n

n

（3）递推

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法：用递推公式求a n 。

（4）逐差法：从某些数列的前面若干项，逐次求出它们的差数列（后项减前项），最后得到一个等差或等比数列，再由此倒推回去求出原数列的通项公式。

第二节：等差数列：1、等差数列的定义：a 1+n -a n =d(常数)， n ∈N*.

2、等数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d, n ∈N*, a n =dn+ a 1-d,d ≠0时，是关于n 的一次函数，斜率为公差d. a n =kn+b(k ≠0 ) ⇒｛a n ｝为等差数列，反之不能。

3、等差中项：若a,A,b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且2A=a+b 。

4、等差数列的性质：（1）若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d <0，则为递减等差数列， 若公差d ＝0，则为常数列。

（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项相等，并且等于首末两项之和。

（3）m, n ∈N*，则a m ＝a n +(m-n)d.

(4)若s,t,p,q ∈N*,且s+t=p+q,则a s +a t =a p +a q ，其中a s ，a t ，a p ，a q 是数列中的项，特别地，当s+t=2p 时,有a s +a t =2a p 。

（5）若数列｛a n ｝,｛b n ｝均是等差数列，则数列｛ma n +kb n ｝仍为等差数列，其中m,k 均为常数。5、证明一个数列是等差数列，只需证明a 1+n -a n 是一个与n 无关的常数即可。

第三节：等差数列的前n 项和：1、等差数列的前n 项和的公式：

()()()()()()11221111,212211321,422n n n n n n a a S n S na n n d S a n S dn a d n -+=

=+-⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭当d ≠0时，是关于n 的二次函数且常数项为0，

()20n S an bn ab =+≠ ｛a n ｝为等差数列，反之不能。

2、等差数列中，已知5个 元素：a 1，a n ，n,d, S 中的任意3个，便可求出其余2个，即

知3求2。为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个成等差，可设为…，a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,…，偶数个成等差，可设为…，a-3d,a-d,a+d,a+3d,…

3、等差数列的前n 项和的有关性质：（1）232,,n n n n n S S S S S -- ，…成等差数列。

（2）1)｛a

n ｝有2k 项时，S S -偶奇 ＝kd, 2)｛a n ｝有2k+1项时，S 奇=(k+1)a 1k + =(k+1)a 平 , S 偶=k a 1k + =k a 平 , S 奇 ：S 偶 =(k+1)：k

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S 奇 －S 偶 ＝a 1k + = a 平

4、等差数列｛a n ｝中，（1）若a p =q,a q =p ，则列方程组可得：d=－1, a 1 =p+q-1,a p q + =0,S =-(p+q)

(2)当S p ＝S q 时（p ≠q ），数形结合分析可得S

n 中S 2p q + 最大，S p q + ＝0。此时公差d<0.

5、几个重要的求和的公式：（1）12 ＋22 ＋32 ＋42 …＋n 2 ＝16

n(n+1)(2n+1) (2) 13 +2 3+33 +…＋n 3= ()212n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦

(3)1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=

31 n(n+1)(n+2) (4) ()111112233411

n n n n ++++=⨯⨯⨯++ 第四节：等比数列：1、等差数列的定义：n

n a a 1+＝q （常数），其中n ∈N*,a n ≠0,q ≠0, 2、等比数列的通项公式：a n =a 1q 1-n , n ∈N*

3、等比中项：若数a,G,b 成等比数列，那么就称G 为a 与b 的等比中项，从而有G 2

＝ab 或G ＝±ab

4、等比数列的性质：在等比数列｛a n ｝中，有（1）若m+n=p+q,m,n,p,q ∈N*,则a m a n =a p a q ,当m+n=2p 时，a m a n =a p 2（2）若m,n,∈N*，则a m = a n q n m -,(3)若公比为q ，则｛n a 1｝是以q

1为公比的等比数列。（4）下标成等差数列的项构成等比数列。（5）证明一个数列是等比数列，只需证明n n a a 1+是一个与n 无关的常数即可（或a n 2=a 1-n a 1+n ）（6）1）若a 1>0，

q>1，则｛a n ｝为递增数列,2) a 1<0,q >1, 则｛a n ｝为递减数列,3) a 1>0,0<q<1,则｛a n ｝为递减数列,4) a 1<0, 0<q<1, 则｛a n ｝为递增数列,5)q <0，则｛a n ｝为摆动数列，若q ＝1，则｛a n ｝为常数列。

5、递推公式形如：1,,n n a ka b k b -=+()1,0k ≠为常数的数列都可以用待定系数法转化为

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等比数列且公比为k 。

第五节：等比数列的前n 项之和：1、等比数列的前n 项和公式：

()()

()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==111111111q q q a a q q a q na S n n 2、已知a 1,q,n, a n ,S n 中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…22,,,,aq aq a q

a q a ，…（公比为q ），但偶数个数成等比数列时，不能设为…

33,,,aq aq q a q a ，…因公比不一定为一个正数。公比为正时可如此设。

3、q ≠1时，b aq q

a q q a S n n n +=-+--=1111（a ≠0,

b ≠0,a+b=0） 4、一个等比数列有3n 项，若前n 项之和为S 1，中间n 项之和为S 2，最后n 项之和为S 3，试判定S 1，S 2，S 3是否为等比数列？q ≠-1时为等比数列，

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第四章三角函数的图象与性质

第一节：角的概念的推广：1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角与轴线角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，称为轴线角。第一、二、三、四象限角分别可表示为： {}{}{}(){}0000000

0000000

36090360,,90360180360,180360270360,,2703603601,k k k Z k k k Z k k k Z k k k Z αααααααα+∈++∈++∈++∈

角α终边在x 轴的非负半轴上时可表示为：α＝360°k,k ∈Z, 角α终边在y 轴的非负半轴上时可表示为：α＝360°k+90°,k ∈Z,在x 轴的非正方向上，在y 轴的非正方向上可类似表示。

3、终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 {}0360,S k k Z ββα==+∙∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表成角α与整数个周角的和。任意两个终边相同的角之差必是360°的整数倍。相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。

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4、当α、β的终边关于x 轴对称时，α＝360°k －β，当α、β的终边关于y 轴对称时，α＝k360°+180°-β，当α、β的终边关于原点对称时，α＝360°k+180°+β，当α、β的终边互相垂直时，α＝360°k ±90°+β。

5、已知α是第几象限的角，如何确定

,*n N n α∈所在象限的角的常用方法有二：（1）分类讨论法，先根据α的范围用整数k 把,*n N n α

∈的范围表示出来，再对k 分n 种情况讨论。

（2）几何法：把各象限均先n 等分，再从x 轴的正方向的上方起，依次将各区域标上①、②、③、④，则α原来是第几象限对应的标号即为,*n N n α

∈的终边所在的区域。

第二节：弧度制：1、弧度及其相等的概念：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad ，用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制。一般地：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。角α的弧度数的绝对值l r α=（l 表示圆心角α所对的弧长，r 表示圆的半径）

第三节：任意角的三角函数：1、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，α的终边上任意一点P 的坐标是（x,y ）

，它与原点的距离是0r = ，那么

()()()()()()sin ,cos ,tan ,0cot 0,sec 0,csc 0y x y x r r x x r r y x y y x y

αααααα===≠=≠=≠=≠正割余割 以上以角为自变量，比值为函数的六个函数统称为三角函数。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

2、设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P （x,y ），过P 点作x 轴的垂线，生路垂足为M ，过点A （1,0）作单位圆的切线，设它与角α的终边或其反向延长线相交于点T ，则有向线段MP 、OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线，正切线。

即：sin

=MP,cos =OM,tan α=A T 。如下图：

特别地，当角α的终边在x α的终边在y 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。

3、象限角的三角函数符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦。

4、根据三角函数线分析各象限的区间内各三角函数的单调性：正弦一,四增，二、三减。余弦三、四增，一、二减。正切只有增区间，余切只有减区间。

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4、诱导公式（一）：()()()sin 2sin ,cos 2cos ,tan 2tan k k k πααπααπαα+=+=+=第四节：第四节同角三角函数的基本关系式：

1、平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=

2、倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,

3、商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα

=

= 2、角度制与弧度制的换算：00000180,10.01745,180180157.35718'rad rad rad rad πππ==

≈⎛⎫=≈= ⎪⎝⎭

3、弧度制下的弧长与扇形面积计算公式：211,22

l r S lr r αα=== 4、用弧度制表示终边相同的角、象限角与轴线角： 注：在同一个代数式中弧度制与角度制不能同时出现。如：()0245k k Z π+∈是错误的。

第五节：正、余弦的诱导公式

一：知识要点：1、诱导公式：

（1）sin （180°+α）=-sin α,cos （180°+α）=-cos α,tan （180°+α）=tan α

(2)sin （-α）=-sin α,cos （-α）=cos α,tan （-α）=-tan α,

(3) sin （180°-α）=sin α,cos （180°-α）=-cos α,tan （180°-α）=-tan α,

(4)sin （360°-α）=-sin α ,cos （360°-α）=cos α ,tan （360°-α）=-tan α,

(5)sin （90°-α）=cos α,cos （90°-α）= sin α,tan （90°-α）=cot α,

(6) sin （90°+α）=cos α, cos （90°+α）= -sin α, tan （90°+α）= -cot α,

(7)sin （270°+α）=-cos α, cos （270°+α）= sin α, tan （270°+α）= -cot α,

(8) sin （270°-α）=-cos α, cos （270°-α）=- sin α, tan （270°-α）= cot α,

2、规律：奇变偶不变，符号看象限。即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k ×90°±α，则函数名称不变。

把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤ ,(2)转化为锐角三角函数。

3、特殊角的三角函数值：（见下表）

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30°,45°,60°的三角函数值的记忆口诀：正弦、余弦的分母均为2，正弦分子1,2，3。余弦分子3,2，1算术平方根。正切、余切含3不含2，两头互倒中为1，正切递增余切减。

第六

节：两角和与差的正弦、余弦、正切：1、两点间的距离公式：平面内两点()()111222,,,P x y P x y 间的距离公式：

12PP =2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

()()()()()(),cos cos cos sin sin ,sin sin cos cos sin tan tan ,tan 1tan tan C S T αβαβαβαβαβαβ

αβαβαβαβ

αβαβ

±±±±=±=±±±= 对第三式的αβ的值使等式两边有意义。 3、化一公式：()sin cos ,tan b a b a αααϕϕ⎛⎫+=

+= ⎪⎝⎭ 4、注意公式的变形应用如：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±=±

5、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式如：

()()()()

00022

459045,2,22αβ

αβ

ααββα

αααααβαβ+-=+-=+±=-=⨯=++- 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”第三观察代数式的结构特点。

第七节：二倍角的正弦、余弦、正切

一：知识要点：1、二倍角公式：222222sin 22sin cos ,

cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan 1tan tan 2,cot 21tan 2tan αααααααααααααα

==-=-=--==-

2、降幂公式与升幂公式：22221cos 2cos 1cos 22cos 21cos 2sin ,1cos 22sin 2αααααααα+=⇔+=-=⇔-=

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3、半角公式

：

cos 2α=⎪⎪⎩

-

sin 1cos tan 21cos sin α

αααα

-==+ 4、和差化积与积化和差：

()()()()1sin sin 2sin cos ,2sin sin 2cos sin 22223cos cos 2cos cos ,4cos cos 2sin sin 2222

αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ

αβαβ+-+-⎧+=-=⎪⎪⎨+-+-⎪+=-=-⎪⎩ ()()()()()()()()()()()()111sin cos sin sin ,2cos sin sin sin 22113cos cos cos cos ,4sin sin cos cos 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧=++-=+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣

⎦⎪⎪⎨⎪=++-=-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣

⎦⎪⎩5、万能公式：()()()2

2222tan 1tan 2tan 2221sin ,2cos ,3tan 1tan 1tan 1tan 222

ααααααα

αα

-===

++- 第八节：正弦函数、余弦函数的图象和性质：1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx （x ∈R ）和余弦函数y=cosx （x ∈R ）的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线，如下图：

作图方法：常用五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。常选取横坐标分别为0，3,,,222

π

πππ的五点。 2、正弦与余弦函数的定义域都是R ，值域都是[]1,1-，对y=sinx,当()22x k k Z ππ=+

∈时，y 取最大值1，当()322

x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1，对y=cosx,当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。

3、周期性：定义：对于函数y=f （x ）,如果存在一个不为0的常数T ，使得当x 取定义域内的每个值时，f （x+T ）=f （x ）都成立，那么就把函数y=f （x ）叫做周期函数，不为0的常数T 叫做这个函数的周期。对于周期函数f （x ），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数就叫做y=f （x ）的最小正周期。

y=sinx,y=cosx 的最小正周期都是2π，

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函数y=Asin ()()()sin cos 0y A x y A x ϖϕϖϕϕ=+=+≠和的最小正周期都是2T π

ϖ=

4、奇偶性与对称性：定义：如果对于函数f （x ）的定义域内的每个值x,都有f （-x ）=－f （x ），则称f （x ）为奇函数。如果对于函数f （x ）的定义域内的每个值x,都有f （-x ）=f （x ），则称f （x ）为偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象在关于原点的对称区间上的单调性相同，偶函数的图象在关于原点的对称区间上的单调性相反。

正弦函数y=sinx 是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+

∈。 余弦函数y=cosx 是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛

⎫+∈ ⎪⎝⎭

，对称轴是直线()x k k Z π=∈。

5、单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡

⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦

在上单调递增， 在()32,222k k k Z ππππ⎡

⎤++∈⎢⎥⎣⎦

单调递减。 y=cosx 在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。

第九节：函数()sin y A x ϖϕ=+的图象：1、振幅、周期、频率、相位、初相：函数()[)()sin ,0,0,0y A x x A ϖϕϖ=+∈+∞ ，表示一个振动量时，A 表示这个振动的振幅，往返一次所需的时间T ＝2πϖ，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数12f T ϖπ

==称为振动的频率，x ϖϕ+称为相位，x ＝0时的相位ϕ叫初相。 2、用“五点法”作函数()sin y A x ϖϕ=+的简图主要通过变量代换，设X ＝x ϖϕ+由X 取0，

3,,,222

π

πππ来找出相应的x 的值，通过列表，计算得出五点的坐标，描点后得出图象。 3、函数()sin y A x ϖϕ=+＋K 的图象与y=sinx 的图象的关系：

把y=sinx 的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）， y=sin （x+ϕ） 把y=sin （x+ϕ）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的

1ϖ， y=sin （ϖx+ϕ）

把y=sin （ϖx+ϕ）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，

()sin y A x ϖϕ=+