数值分析课后习题部分参考答案

数值分析课后习题部分参考答案

Chapter 1

（P10）5. 求2的近似值x，使其相对误差不超过0.1%。 解：2 1.4 。

设x有n位有效数字，则|e(x)| 0.5 10 10

*

*

n

*

。

0.5 101 n

从而，|er(x)| 。

1

*

故，若0.5 10

1 n

0.1%，则满足要求。

*

解之得，n 4。x 1.414。

（P10）7. 正方形的边长约100cm，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过1cm。

解：设边长为a，则a 100cm。

设测量边长时的绝对误差为e，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计: 2 100 e。按测量要求，|2 100 e| 1 解得，|e| 0.5 10。

Chapter 2

（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：

2

2

11 1 A 210 。

1 10

解：设A

1

。分别求如下线性方程组：

1 0 0 A 0 ，A 1 ，A 0 。

0 0 1

先求A的LU分解（利用分解的紧凑格式），

(1)1( 1) 1 (1)1

(2)2(1) 1(0)2 。 (1)1( 1)2(0) 3

100 11 1

即，L 210 ，U 0 12 。

00 3 121

经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，

1 0

Ly 0 和U y，得， 0 ；

0 1

1

3 0 1

Ly 1 和U y，得， ；

3 0 2

3 1 3 0 2

Ly 0 和U y，得，； 。

3 1 1

3 0

所以，A 1 0

1

131323

1 3 2 。 3 1 3

（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：

21 3 x1 1 1

50 5 x2 2 2

1 0141x316

3 5115 x 8 4

解:

平方根法：

先求系数矩阵A的Cholesky分解（利用分解的紧凑格式），

0 (1)1 1

(5)11 (2)2 2

L ，即， (1)1 1 2(0) 2(14)3

( 3) 3( 5)1(1)2(15)1 31

经平方根法的回代程，分别求解方程组

00

00 T

，其中，。 A L L 3 21

1 1

2 1 Ly 和LTx y，得，x 。

161 8 1

改进平方根法：

T

先求系数矩阵A的形如A LDL的分解，其中L (lij)4 4为单位下三角矩阵，

D diag{d1,d2,d3,d4}为对角矩阵。

利用计算公式，得

d1 1；

t21 2,l21 2,d2 1;

t31 1,t32 2,l31 1,l32 2,d3 9;

t41 3,t42 1,t43 6,l41 3,l42 1,l43

分别求解方程组，

2

,d4 1。 3

1 1 2 1 Ly 和DLTx y，得，x 。

161 8 1

x1 0.99x2 1（P48）12. 已知方程组 的解为x1 100,x2 100。

0.99x 0.98x 112

（1） 计算系数矩阵的条件数；

（2） 取x1 (1,0),x2 (100.5, 99.5)，分别计算残量ri b Axi(i 1,2)。 本题的计算结果说明了什么？

*

T

*

T

*

0.99 1 9800 1

解：（1）设A ，求得，A 9900 0.990.98

从而，Cond(A)1 39601。

9900

。

10000

T

（2）计算得，r1 (0,0.01)，r1

1

0.01；r2 ( 0.995, 0.985)T，r2

1

1.98。

这说明，系数矩阵的条件数很大时，残量的大小不能反映近似解精度的高低。

Chapter 3

（P72）3. 用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代求解方程组

x1 2x2 2x3 1

x1 x2 x3 1 2x 2x x 1

23 1

取初值x

(0)

(0,0,0)T，迭代4次，并比较它们的计算结果。

解：由方程组得，

x1 2x2 2x3 1x2 x1 x3 1

x3 2x1 2x2 1

从而，Jacobi迭代格式为：

(k)(k)

x1(k 1) 2x2 2x3 1

(k 1)(k)x2 x1(k) x3 1，k 0,1,2, . (k 1)(k)x3 2x1(k) 2x2 1

Gauss-Seidel迭代格式为：

(k)(k)x1(k 1) 2x2 2x3 1

(k 1)(k)x2 x1(k 1) x3 1，k 0,1,2, . (k 1)(k 1)x3 2x1(k 1) 2x2 1

整理得，

(k)(k)x1(k 1) 2x2 2x3 1(k 1)(k)(k)

x2 2x2 3x3(k 1)(k)x3 2x3 1

，k 0,1,2, .

Jacobi迭代：

x(0) (0,0,0)T x(1) (1,1,1)T x(2) (1, 1, 3)T x(3) ( 3,3,1)T x(4) ( 3,3,1)T

Gauss-Seidel迭代：

x(0) (0,0,0)T x(1) (1,0, 1)T x(2) ( 1,3, 3)T x(3) ( 11,15, 7)T x(4) ( 43,51, 15)T

Jacobi迭代中x

(3)

已经是方程组的精确解，而从Gauss-Seidel迭代的计算结果，可以预见它

是发散的。

（P73）9.设有方程组

x1 ax2 ax3 b1

4ax1 x2 b2 ax x b

133

（1） 分别写出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式，

（2） 用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的a的取值范围。 解: 由方程组得，

x1 ax2 ax3 b1x2 4ax1 x3 b2 x3 ax1 b3

从而，Jacobi迭代格式为：

(k)(k)

x1(k 1) ax2 ax3 b1

(k 1)

x2 4ax1(k) b2(k 1)x3 ax1(k) b3

，k 0,1,2, .

a a 0

00 迭代矩阵为：B 4a

a00

设| I B| 0，求得， 1 0, 2

|a|, 3 5|a|，故 (B) 5|a|。

另由Jacobi迭代格式，得Gauss-Seidel迭代格式为：

(k)(k)

x1(k 1) ax2 ax3 b1

(k 1)(k)(k)

x2 4a2x2 4a2x3 4ab1 b2，k 0,1,2, . (k 1)(k)(k)x3 a2x2 a2x3 ab1 b3

0 a 2

迭代矩阵为：G 04a

0a2 a

4a2 a2

2

设| I G| 0，求得， 1 0, 2 0, 3 5a，故 (G) 5a。 另外，应保证方程组的系数矩阵非奇异，解得，a

2

5

。由迭代收敛的充要条件得， 5

Jacobi迭代收敛 |a|

；Gauss-Seidel迭代收敛 |a| 。 55

故，使得两种迭代法都收敛的a的取值范围是相同的：|a|

。 5

1aa 11

（P74）12.证明对称矩阵A a1a 当 a 1时为正定矩阵，且只有当|a| 时， …… 此处隐藏：3785字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……