数字通信复习题

第一章 通信信号和系统的特性与分析方法 1.1 信号的正交表示 1.1.1 N维空间

N维向量空间

性 P3 N维信号空间 内积定义、信号的正交

波形抽样正交法

1.1.2 白噪声中的信号正交表示

Schmidt正交法

白噪声以任意正交基展开，它们的分量{nj}都是相互独立的高斯变量，即，nj~N(0, 2) （证明 P8）

1.1.3 非白噪声中的信号正交表示 P9

1.2线性均方估计与正交性原理 P13

H空间的特点

1.2.1 希尔伯特空间 最小均方估计

正交性原理 最小均方误差的条件

1.2.2随机变量的H空间与最小均方误差估计 P15

1.3匹配滤波器（MF）

MF等效于相关器 证明 P18

1.4 实带通信号与系统的表示

形式 s(t)的能量P19 实带通信号的三种表示

就是其对应的复带通信号P21 关于解析信号 实带通信号的解析信号

等效低通分析方法 带通信道的等效低通模型P22

1.5带通平稳过程（带通高斯噪声）

及其统计特性 实带通高斯噪声的表示

函数P23 相关函数与功率谱 窄带高斯噪声的自相关

噪声平均功率（方差）的计算

1.6 数字调制信号的表示（线性无记忆调制信号）P26

数字调制信号-带通信号

数字调制模型-g(t)波形设计的考虑-P26 带信号举例 数字调制信号的等效基

号的表示方法-信号向量、星座图、欧氏距离、互相关函数P29 线性无记忆数字调制信

七种线性无记忆数字调制信号的表示PAM/DSB、PSK、QAM、正交多维信号、双正交信号 生成的信号波形-P31 ---------------------------------单纯信号、由二进制码

带通信号的相关

方法 求实带通信号功率谱的

1.7 数字调制信号的功率谱 求 uu( )及 uu(f)的一般式-P42

{I}实不相关序列、{In}实相关序列 n 功率谱 uu(f) P45 数字调制信号复包络的

1.8 CPFSK（相位连续FSK）与CPM（连续相位调制）信号及其功率谱 —P51 MSK（最小频移键控）P57

1.9 数字通信系统性能的评估：单极性基带传输、双极性基带传输、OOK、BPSK、QPSK

第二章 数字信号最佳接收原理 2.1 引言

最小错误概率准则

MAP）2.2 最佳接收准则 最大后验概率准则（ P67

最大似然函数准则（ML）

2.3 白噪声中确知信号的最佳接收

2.3.1二元确知信号的最佳接收机的结构 P71

2.3.2二元确知信号的最佳接收机的性能及最佳信号形式P73 2.4非白噪声中确知信号的最佳接收（M元）P76

2.5在有符号间干扰和非白噪声中确知信号的最佳接收P80

第三章 加性高斯噪声中数字信号传输

3.1 数字调制信号的波形及信道的特征P85

*3.1.1 匹配滤波器输出判决变量的统计特性P87

不相关与统计独立的关系 两个随机变量的正交、

噪声的统计特征 匹配滤波器输出复高斯

量的统计特性 匹配滤波器输出判决变

两个相互正交匹配滤波器输出判决变量的统计特性

3.2 在AGN信道中二元确知信号的最佳解调

3.2.1 在AGN信道中二元确知信号的最佳解调—性能P92

最佳解调器结构

3.2.2 M元正交信号最佳解调 性能分析—PM、Pb P95

带宽效率

*3.2.3 M元双正交信号最佳解调P99 3.2.4 M元PSK信号的最佳解调P102 3.2.5 M元PAM信号的最佳解调 P111

3.2.6 APM（或APK）信号最佳解调（组合多幅多相调制信号）P115

为什么采用APM

APM的星座图对Pav、PM的影响 QAM系统P120

QAM信号最佳解调性能分析 QAM系统的带宽效率 QAM系统与MPSK系统的比较

3.3 在加性高斯噪声中（AGN）随信号的最佳解调

P126 系统的描述—等效低通复高斯噪声

最佳接收机的结构

3.3.1 在AGN中二元正交随相信号的最佳解调（非相干检测）P129

最佳解调器及判决变量

性能分析Pb

3.3.2在AGN中M元正交随相信号的最佳解调P132

最佳解调器及判决变量

求PM

R M元频率正交信号非相干检测的

W

3.4 加性高斯白噪声信道的最佳接收机P136

3.4.1受AWGN恶化信号的最佳接收机(5.1节学习要点)

1. AWGN信道下最佳接收机 2. 最佳接收准则与相关度量

3.4.2无记忆调制的最佳接收机（5.2节学习要点）P146

1. 二进制调制的错误概率(5.2.1) 2. M元正交信号的错误概率(5.2.2) 3. M元PAM的错误概率(5.2.6) 4. M元PSK的错误概率(5.2.7) 5. QAM错误概率(5.2.9)

3.4.3 AWGN信道中随相信号的最佳接收机(5.4节学习 要点)P152

二进制随相信号的最佳解调(5.4.1)

补：关于匹配滤波器输出噪声方差的分析P160

第五章 在有ISI及加性高斯噪声信道中的数字信号传输

ISI的分析 对信道及其产生

计 消除ISI的条件及信号波形的设

P187 最佳接收机的分析方法

最佳解调器的结构 最佳接收机性能的比较

信道的数学模型

c(t)对ISI的影响

5.1 带限信道的特性 P192

群时延特性 (f)影响 举例：DSB、QAM

5.2带限信道的信号设计 系统模型（等效低通）P193

5.2.1 零符号间干扰的带限信号的设计P194

零符号间干扰的条件

奈奎斯特准则

升余弦特性

5.2.2 具有受控ISI的带限信号的设计（部分响应信号）

零ISI波形的优点

P200

PRS波形的基本思想

双二进制信号的产生

接收机检测

双二进制部分响应信号的传输 P203

题及其解决方法 双二进制信号存在的问

双二进制信号的预编码

变型双二进制部分响应信号的传输P204

补：双二进制PRS系统、变型双二进制PRS系统P207 5.2.3 部分响应信号传输的一般原理

PRS结构部分响应信号的产生

频域分析P212 部分响应系统的时域和

符号的检测与性能分析

方法P218 消除差错传播的条件及 预编码及系统性能分析 预编码器结构

5.3 在不变信道条件下的最佳解调P221

5.4在可变信道条件下的最佳解调（自适应接收机）P224 等效的离散信道模型 5.5 线性均衡P233

系统的非白AGN信道的等效模型等效模型 系统的白化噪声信道的

对最佳离散系统的要求

最佳离散系统的结构

调整抽头系数{cj}的最佳准则

5.5.1 峰值失真准则和迫零算法

则 峰值失真和峰值失真准

ZF均衡器P238 无限抽头系数的

无限抽头ZF均衡器的性能

有限抽头的ZF均衡器 最速下降递推算法（或迫零算法） ZF均衡器存在的两个问题

5.5.2 均方误差准则（MSE）和LMS算法P247

1. 均方误差准则；

2. 无限长LMS均衡器（C(z)，Jmin）； 3. 有限长LMS均衡器（Copt，Jmin）； 4. LMS算法；

5. 均衡器的操作；

6、递推LMS算法收敛特性的分析

5.6判决反馈均衡（DFE）P263 5.7 分数均衡器（FSE）

第六章 多径衰落信道上的数字信号传输 6.1 多径衰落信道的数学模型与分类P287

电磁波的传播机制 散射

6.1.1无线信道的特性 大尺度衰落

小尺度衰落 P290 多普勒频移和衰落频率

冲击响应与传输函数一般性描述

函数 信道自相关函数与散射

6.1.2信道的数学描述 之间的关系P295 信道相关函数与功率谱

特征描述 多径扩展谱与多径扩展

多普勒扩展谱与多普勒 扩展 信道分类P298

衰落）信道的进一步说明 6.1.3信道的分类 关于非色散（非选择性

8PSK P299

6.1.4 移动信道的模型（多径衰落信道）P300

其响应 时变线性滤波器模型及

性P301 多径衰落信道的统计特

频率非选择性慢衰落信道模型—瑞利衰落模型

6.2 在频率非选择性慢衰落信道上二进制数字信号传输P306 6.3 多径衰落信道的分集技术P314

移动信道的损伤

分集的原理和方法

合并的方法

分集性能的评价P320

6.3.2二进制信号的分集接收性能P322

1、PSK相干检测分集接收性能

2、正交FSK相干检测分集接收性能 3、正交FSK非相干检测分集接收性能 (*)4、DPSK分集接收性能

6.4在频率选择性慢衰落信道中数字信号的传播 6.4.1信道模型P327

6.4.2RAKE接收机（解调器）P328

6.4.3频选信道模型及RAKE接收机的应用P330

一、计算和推导

1、 PAM等效低通信号为u(t)

nn

需信道估计器 不用信道估计器

Ig(t nT)假设g(t)是幅度为A间隔为T的矩形脉冲。

{In}是不等概取值(0,1)的二进制随机序列，P(0) P，P(1) 1 P。试求u(t)的功率谱。

P43、44 题1.5 解：

In

u(t)

n

I

n

g(t nT)

uu(f) ii(f12

G(f) ii(f) T

{In}为不相关实序列，利用式（4-4-18）

a．求 i， i2

ui E[In] P 0 (1 P) 1 1 P

i2 E[(In ui) ] P(1 P)2 (1 P)P2 P(1 P)

代入式（4-4-18），得

11mm22

uu(f) P(1 P)G(f) 2(1 P) G()(f )

TTTTm

b．因为g(t)是矩形脉冲

G(f) (AT)2(

2

sin fT2

) (AT)2Sa2( fT) fT

代入： uu(f) P(1 P)A2TSa2( fT) (1 P)2A2 (f)

2、窄带高斯噪声n(t)=Re[z(t)e式中， zz( ) 证明：n(t)

j2 fct

]。证明n(t)自相关函数 nn( )＝Re[ zz( )ej2 fc ]，

1

E[z*(t)z(t )]。 2

1

[z(t)ej2 fc z*(t)e j2 fct] 2

1

n(t ) [z(t )ej2 fc( ) z*(t )e j2 fc(t )]

2

1

nn(t, ) E{z(t)z(t )ej2 fc(2t ) z(t)z*(t )e j2 fc

4故

z*(t)z(t )ej2 fc z*(t)z*(t )e j2 fc(2t )}

但是

E{z(t)z(t )} 0 ，故

14

Re[ zz( )ej2 fc ]

3、PAM/DSB信号表示为

nn( ) E{z(t)z*(t )e j2 fc z*(t)z(t )ej2 fc }

sm(t) Re[Amg(t)ej2 fct] Amg(t)cos2 fct，0≤t≤T, m=1, 2,…, M。

1. 试论证标准正交函数（1维）为

sm(t) smf(t)

f(t)

(t)cos2 fct 并画出2ASK的标准星座图（坐标要求标上）。

2. 讨论单载波的标准正交函数集（2维）

sm(t) sm1f1(t) sm2f2(t)

即证明以下函数的标准正交性。

'f(t) (t)cos2 fct 1

'

f(t) (t)sin2 ft

c 2

证明：1、sm(t) Re[Amg(t)e

j2 fct

] Amg(t)cos2 fct，0≤t≤T,m=1,2,…,M

Am (2m 1 M)d

sm(t)的能量为 其中

Em

T

2sm(t)dt

12

AmEg 2

Eg g2(t)dt 为g(t)的能量

T

标准正交函数（一维）：

sm(t)

smf(t)

f(t)

(t)cos2 fct 2ASK

2、信号表示：sm(t) Re[g(t)e

j2 (m 1)/M

ej2 fct]

g(t)cos[2 fct

2

(m 1)] M

g(t)cos

2 2 (m 1)cos2 fct g(t)sin(m 1)sin2 fct M M

f1'(t) Em1

f2'(t) Em2

能量：Em E

T

T

2

sm(t)dt

1T21g(t)dt Es Agm 022

Em1 f1'2(t)dt

Em2

T

12

Egcos2(m 1)

2M

12

f2'2(t)dt Egsin2(m 1)

2M

标准正交函数集（2维）：

sm(t) f1'(t) f2'(t) sm1f1(t)

sm2f2(t)

'f(t) (t)cos2 fct(4 3 14) 1

'

f(t) (t)sin2 ft(4 3 15)

c 2

sm1

2

(m

1) M2

(m 1) M

sm2 信号向量：sm [sm1,sm2]

4、若实带通信号为 a(t) Reu[t(e)

j2 cft

和q](t) Re[v(t)e

c

j2 fct

]。试论证互相关函数为

1

2

aq( ) a(t)q(t )dt Re[ uv( )ej2 f ]，式中， uv(t) u (t)v(t )dt。以及

自相关函数为 aa( ) Re[ uu( )e

j2 fc

1

]，式中， uu(t) u (t)u(t )dt

2

证明：具有相同载频fc的两个实带通信号分别为

a(t) Re[u(t)e

j2 ft

] q(t) Re[v(t)e

j2 ft

]

则a(t)和g(t)的互相关函数为

11

aq( ) a(t)q(t )dt Re{ej2 fc u(t)v(t )ej4 fctdt} Re{ej2 fc u*(t)v(t )dt}

22

上式的第一个积分的被积函数中u(t)和v(t)是低通函数，其变化相对于周期函数

exp(j4 fct)的周期2fc缓慢得多，所以对t按逐个周期进行积分，所得结果为0.因此，

在窄带条件下，互相关函数 aq( )可以简化为

aq( ) Re{e

j2 fc

1*j2 fc u(t)v(t )dt} Re{ ( )e} u 2

1

其中复包络 u ( ) u*(t)v(t )dt

2

利用上述互相关函数的分析结果，容易得到实带通信号x(t)的自相关函数

aa( ) Re{e

j2 fc

1*

u(t)u(t )dt} Re{ uu( )ej2 fc } 2

1

其中 aa( ) u*(t)u(t )dt

2

1、 试证明匹配滤波器等效于一个相关器。 证明：

s(t)

(0,T)

MF

u(t) h(t )y( )d

t

t0

t0

u(t) h(t )y( )d s T (t ) y( )d

当t T时，u(T) s( )y( )d

0T

6、在一般情况下，由误码率转换到误信率PM Pb取决于映射规则。试论证

2k 11

Pb kPM PM

22 1

并论证采用Gray 编码时

Pb

1

PM k

证明：1、在最坏情况下，M元信号，（M-1）种差错等概出现，（注：只有一种情况是正确

的）则单种符号差错的发生概率为

PMk

。令M 2，则一个符号差错，可能M 1

有n k个比特发生了差错，且发生n个比特差错的情况随比特的位置不同而不同，即共有 Ckn种组合或情况。故这k个比特中（一个符号中）平均有

k n

k PM k PMk!k 1PM

n n k2 k kk

n2 1n!(k n)!2 12 1n 1 n 1

k

个比特发生差错。除以k（种位数）可以得到

2k 11

Pb kPM PM

22 1

对一个符号来说，发生误比特一定发生误码，但发生误码不一定发生误比特。

2、Gray Coding

相邻符号只相差1bit，而每一符号包含k log2Mbit。

Pb

1

PM（误比特率最小情况） k

T

2、 若白高斯噪声经过相关器，则输出噪声为Nm Nmr jNmi 的复高斯随机变量。则其方差为

z(t)um(t)dt。是零均值

2 var(Nm) 2EN0，且有

)

2 vaNrm( )Nv (marr

证明：

。N)m ivar(

ENm

T0T

2

m

2

T T E z(t)um(t)dt z( )um( )d

0 0

T

0T

E z(t)z ( ) um(t)um( )dtd N0 (t )um(t)um( )dtd um(t)um(t)dt

N

0T

00

所以：

N0 um(t)dt

2m

T

2

2EN0

1T2

其中，E um(t)dt

20

8、实带通正交信号可以表示为sm(t) Re[um(t)e

j2 fct

]，若其复包络为

um(t) Aej2 (m 1) ft，m=1,2,…,M。相邻频率间隔为 f，试论证相邻频率复包络相关系数

为

1T* j fT

u(t)u(t)dt Sa( T f)e。以及实带通信号相关系数为 12 02E

r Sa( T f)cos T f Sa(2 T f)和| | Sa( T f)。正交条件各是怎样的，具有

什么意义？

112

证明：波形能量Em S(t)dt um(t)dt A2T

2020

2

m

TT

相邻频率复包络相关系数：

11* j2 ft

u(t)u(t)dt A Aedt122 2E AT00

1111 e j2 ftdt [e j2 ft]T [1 e j2 fT]0

T0T j2 fj2 fT

11

e j fT[ej fT e j fT] sin( fT)e j fT

j2 fT fT

T

TT

Sa( T f)e j fT

实带通信号相关系数： r Re[ ] Sa( T f)cos( T f) Sa(2 T f)

Sa( T f)

1

(k 0)时 ， r 0 T

1

即频率间隔为 f k(k 0)的两个信号正交

T

可知，当 f k

9、N维空间中，r(t)在{fk(t)}k 1,2, ,N上的投影分量为rk smk nk。式中，第k个分量，即在fk(t)上的投影为

s (s(t),f(t)) Ts(t)f(t)dt

mk 0mk mk

T

n (n(t),f(t)) kk 0n(t)fk(t)dt T

rk (r(t),fk(t)) 0r(t)fk(t)dt

在RN空间,信号没有任何损伤,带外噪声被滤除了。试证明，nk~N(0, 2)，统计独立，

2

1

N0。 2

2

证明：根据定义 2 E(nk，则 )（实信号和噪声）

T

2

T

E( n(t)fk(t)dt n(s)fk(s)ds)

TT

TT

E n(t)fk(t)n(s)fk(s)dsdt E[n(t)n(s)]fk(t)fk(s)dsdt

00

00

TT

TT

Rn(t s)fk(t)fk(s)dsdt

00

00

N0

(t s)fk(t)fk(s)dsdt2

N 0

2

T

fk2(t)dt

N02

10、非白AGN信道的等效模型中收信号为r(t) 声自相关为

Ih(t nT) z(t)，试证明MF输出噪

nn

vv m E(vkvk m) N0xm,|m| L

1

2

式中L是信道的阶数，噪声已经非白色的。 证明：噪声经过MF有：

v(t) h ( t) z(t)

对上式抽样可以得到

（t ))z( )d h( t)z( )d h(

h ( kT)z( )d

vk v(kT)

故有MF输出噪声自相关为

11

vv m E(vkvk m) E[ h( kT)z ( )d h (t (k m)T)z(t)dt]

22

1

h( kT)h(t (k m)T) E[z( )z(t)]d dt 2

h( kT)h(t (k m)T) N ( t)d dt

N0 N0

h(t kT)h(t (k m)T)dt N0h(t)h(t mT)dt N0

h(t)h (t mT)dt

h(t)h ( (mT t))dt

N0 ht h t t mT N0xm,|m| L

式中L是信道的阶数，噪声已经非白色的。

11、采用无限长LMS均衡器,试证明合成(等效)均衡器的表达式为C z

1Xz N0

，以

及估计的最小均方误差为Jmin 1

j

c

j j

f

。并说明当采用有限长LMS均衡器时

Jmin(K) 1

j K

c

j j

f。

证明：1、从正交条件出发，

E kv

*k l

0，或E[(I cv

k

j

jk j

*)vk l] 0

则

j

cE v

j

*

k-j

v

k-l

E （*） 正交条件 vI* k kl

（*）式左边：

*** E vv EfI fI nk j nk j mk l mk l k jk l

nm *** E fnfmIk j nIk l m k j k l nm

**

fnfmE Ik j nIk l m N0 lj

n

m

式中，vk

fI

n

n

nk n

k，E[ k] 0

***

E[vk jvk] ff N f nmn,m l j0lj mfm l j N0 lj l

m

m

fn*fn l j N0 lj

n 0

L

l j L xl j N0 lj， (A) (10-2-29)

0，其他

X z F z F* z* 1 xk fn f *n f *lfk l

l

fl*fl k， fn*fn k，

l

n 0

L

（*）式右边：

f

n 0

L

*

n

L (l j)

fn l j

f

n 0

*n

fn l j xl j

*******

E(Ikvk) E{I[fI ]} fE{II} E{I lknk l nk lnkk l nkk l} nn

c k,k l n, c 1

式中， k,k l n l, n

1，当n l

0，当n l

f *l ， L l 0， fn ，n 0，，， 1 2 ，L

E Ikv (B)

0

*

k l

将（A）、（B）两式代入（*）式：

j

c[x

j

l j

N0 lj] f *l

1

取z变换： C z [F z F(z

) N0] F (z 1)

F (z 1)则 C z 1

F(z)F(z) N0

等效均衡器： C z 2、

2* *)] E[ I*] E[ c*v*]J E[ k] E[ k(Ik Ikkkkjk j

j

11

1

F(z)F(z) N0Xz N0

)I*] E[I2] E[I*( cv)] Jmin E[(Ik Ikkkkjk j

j

*

c cjE[vk jIk] c(1 cjf j)

j

j

归一化，c E[Ik] 1 Jmin 1

12、试证明无限抽头ZF均衡器的输出噪声功率为

j

2

c

j

f j (10-2-34)

TN0 d N0 d

j Tj 2 Xe2 Xe2

n

证明：

nn z zz z X z C z C * z* 1 N0X z

1Xz

N01** 1

Xz Xz X*z* 1Xz令z ej T，得输出低通离散噪声 nk 的周期谱

nn ej T

N0

nn j T

Xe注:对于归一化的频率有 nnej

2 n

N0

, 则输出噪声序列的功率为

Xej 12

nn ej d

上式中频率为数字频率（无单位）。现将频率改为普通频率（暂时记为 ），则 T。

1故得

2

2n

/T

/T

nn ej T d T，即

T

2

2nTN0

d nn 2

d

（上式中频率已改为普通角频率（rad/s）。） j T

Xe

13、假设h( ;t)是广义平稳（WSS）的，即Rh( 1, 2; t)

1E h ( 1;t)h( 2;t t) 。试2

证明在多普勒频率域（ 域）信道相关函数是不相关的。即，令s( ; )=F{h( ;t)}（称为多普勒频率可变信道冲激响应），试证明下式成立

Rs( 1, 2; 1, 2)

1

E s( 1; 1)s( 2; 2) 2

=Rs( 1, 2; 1) ( 1 2)。

证明：S( , )

Rh( ; t)e j2 td t