2018-2019学年九年级数学下册 第27章 圆 27.2 与圆有关的位置关系 27.2.1 点与圆的位

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江山如此多娇啊

27.2 与圆有关的位置关系

1．点与圆的位置关系

知|识|目|标

1．通过作图，探究出平面内点与圆的三种位置关系，会判断点与圆的位置关系．

2．通过过一个点、两个点、三个点作圆，思考归纳确定一个圆的条件，理解三角形的内接圆的有关概念和性质，并会确定内心和内接圆的半径．

目标一会判断点与圆的位置关系

例1 教材补充例题如图27－2－1所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，M为AB 的中点．

(1)若以点C为圆心，2为半径作⊙C，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？

(2)若以点C为圆心作⊙C，使A，B，M三点中至少有一点在⊙C内且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是多少？

图27－2－1

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【归纳总结】判断点与圆的位置关系的“三个步骤”：

(1)连结该点与圆心；

(2)计算该点与圆心之间的距离d；

(3)依据圆的半径r与d的大小关系，得出结论．

目标二掌握三角形外接圆的作法和性质

例2 高频考题小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，如图27－2－2，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．

(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；

(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．

图27－2－2

【归纳总结】确定圆心的“两种方法”：

(1)作两条弦的垂直平分线，它们的交点就是圆心．

(2)根据90°的圆周角所对的弦是圆的直径，利用三角尺找出圆的两条直径，它们的交点就是圆心．

例3 高频考题下列结论正确的是( )

①三角形有且只有一个外接圆；②圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心是各边垂直平分线的交点；④三角形的外心到三角形三边的距离相等．

A. ①②③④

B. ②③④

C. ①③

D. ①②④

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【归纳总结】外心的性质：

(1)一个三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，它是这个三角形三条边垂直平分线的交点，它到这个三角形三个顶点的距离相等．

(2)一个三角形只有一个外接圆，也只有一个外心，而一个圆有无数个内接三角形．

知识点一点与圆的位置关系

点在圆外，则这个点到圆心的距离______半径；

点在圆上，则这个点到圆心的距离______半径；

点在圆内，则这个点到圆心的距离______半径．

[明确] (1)列表表示点与圆的位置关系：

知识点二探索确定圆的条件

经过一点可以画________个圆．

经过两点可以画________个圆，这些圆的圆心都在两点所确定的线段的垂直平分线上．

不在同一条直线上的三个点确定________个圆，圆心为以这三个点为顶点的三角形的三边的垂直平分线的交点．

知识点三三角形的外接圆、外心等概念

经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆，但一个圆可以有无数个内接三角形．

[拓展] 三角形的外心在三角形的内部⇔三角形为锐角三角形；

三角形的外心在三角形的一边上⇔三角形为直角三角形；

三角形的外心在三角形的外部⇔三角形为钝角三角形．

学习本节后在反思环节，有几名同学的发言如下，你觉得他们说的正确吗？

甲：直角三角形的外心是斜边的中点；

乙：锐角三角形的外心在三角形的内部；

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丙：钝角三角形的外心在三角形的外部 ;

丁：过三点可以确定一个圆．

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教师详解详析

【目标突破】

例1 [解析] (1)连结MC.要判断点A ，B ，M 与⊙C 的位置关系，只需比较AC ，BC ，MC 的长

度与⊙C 的半径的大小关系即可．(2)由AC ，BC ，MC 的长度即可确定半径r 的取值范围．

解：(1)∵AC ＝2，⊙C 的半径为2，

∴点A 在⊙C 上．

∵BC ＝3＞2，∴点B 在⊙C 外．

连结MC.在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝22＋32＝13.

又∵M 为AB 的中点，

∴MC ＝12AB ＝132

＜2， ∴点M 在⊙C 内．

(2)∵AC ＝2，BC ＝3，MC ＝

132

， ∴BC ＞AC ＞MC ，∴要使A ，B ，M 三点中至少有一点在⊙C 内且至少有一点在⊙C 外，则⊙C 的半径r 的取值范围是132

＜r ＜3. 例2 [解析] (1)用尺规作出两条直角边的垂直平分线，找到交点O 即为圆心．以O 为圆心，OA 长为半径作出⊙O 即为所求作的花坛的位置.

(2)根据90°的圆周角所对的弦是直径，计算出圆形花坛的面积．

解： (1)如图，⊙O 即为所求．

(2)∵∠BAC ＝90°，AB ＝8米，AC ＝6米，

∴BC ＝10米，且BC 为⊙O 的直径，

∴△ABC 外接圆的半径为5米，

∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．

例3 [解析] C ①正确；圆有无数个内接三角形，所以②错误；由三角形外接圆的作法可

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