解三角形基础知识和经典例题详解docx
时间：2025-04-19
解三角形基础知识和经典例题详解
解三角形的基础知识，例题详解
1、正弦定理：在 C中，a、b、c分别为角 、 、C的对边，R为 C的外接圆的半径，则有2、正弦定理的变形公式：
①a 2Rsin ，b 2Rsin ，c 2RsinC； ②sin
abc，sin ，sinC ； 2R2R2R
abc
2R． sin sin sinC
③a:b:c sin :sin :sinC； ④
a b cabc
．
sin sin sinCsin sin sinC
3、三角形面积公式：
S C
111
bcsin absinC acsin ． 222
4、余弦定理：
在 C中，有a2 b2 c2 2bccos ，b2 a2 c2 2accos ，
c2 a2 b2 2abcosC．
5、余弦定理的推论：
b2 c2 a2a2 c2 b2a2 b2 c2
cos ，cos ，cosC ．
2bc2ab2ac
6、简单的判断三角形
设a、b、c是 C的角 、 、C的对边，则： ①若a2 b2 c2，则C 90 ； ②若a2 b2 c2，则C 90 ； ③若a2 b2 c2，则C 90 ．
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7．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：
第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：
第1、已知三边求三角.
第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
8．三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换
因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
A BCA BCsin cos,cos sin；
2222
（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
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9.讨论三角形解的情况
分析：先由sinB bsinA可进一步求出B；
a
则C 1800 (A B)
从而c asinC
A
1．当A为钝角或直角时，必须a b才能有且只有一解；否则无解。 2．当A为锐角时， 如果a≥b，那么只有一解；
如果a b，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若a bsinA，则有两解； （2）若a bsinA，则只有一解； （3）若a bsinA，则无解。
（以上解答过程详见课本第9 10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
bsinA a b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在 ABC中，已知a 80，b 100， A 450，试判断此三角形的解的情况。
1
C（2）在 ABC中，若a 1，c ，
2
400，则符合题意的
b的值有_____
个。
（3）在 ABC中，a xcm，b 2cm， B
450，如果利用正弦定理解三
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角形有两解，求x的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3
）2 x
）
二、典例解析 题型1：正、余弦定理
例1．（1）在 ABC中，已知A 32.0，B 81.8，a 42.9cm，解
三角形；
解析：（1）根据三角形内角和定理，
C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20；
asinB42.9sin81.80
b 80.1(cm)0根据正弦定理， ； sin32.0
asinC42.9sin66.20
根据正弦定理，c sin32.00 74.1(cm).
（2）在 ABC中，已知a 20cm，b 28cm，A 40，解三角
形（角度精确到10，边长精确到1cm）。
bsinA28sin400
0.8999. 根据正弦定理， sinB 因为0＜B＜1800，所以B 64，或B 116.
00
000000
①当B 64时， C 180 (A B) 180 (40 64) 76，
asinC20sin760c 30(cm). 0
sin40
②当B 116时，
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C 180
(A B) 180 (40 116) 24
0000
，
asinC20sin240c 13(cm). 0
sin40
点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
例2．（1）在 ABC中，
已知a
c求b及A；
解析：（1）∵b
2
B 60，，
a c 2accosB
22
22
2 COS450
=
212 1)=8
=
∴b
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b2 c2 a22221
, 解法一：∵
cosA 0
A 60. ∴
a0
A sinBsin45,
解法二：∵
sin2.4
1.4 3.8,
＜2 1.8 3.6,
∴a＜c，即0＜
A 60. ∴
A＜900,
（2）在 ABC中，已知a 134.6cm，b 87.8cm，
c 161.7cm，解三角形
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解析：由余弦定理的推论得：
b2 c2 a287.82 161.72 134.62
0.5543, cosA 2bcA 56020 ；
c2 a2 b2
cosB B 32053 ；
134.62 161.72 87.82
0.8398, 90047. C 1800 (A B) 1800 (56020 32053)
点评：应用正弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。 * 2010年高考题
（2010上海文数）18.若△ABC的三个内角满足
sinA:sinB:sinC 5:11:13，则△ABC
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能
是钝角三角形. 解析：由
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