同济高等数学课件D5_4反常积分

第四节反 常积分常积分义推

广第五章

分限有限积被 积数函有

界反积分常( 义广分积

一)无、穷的反限积分二、无常界函的反数积常分动机 录 上目页下 页返 结束回一

、穷无限反常积的引分.例曲线 直线和及 x 轴 围所的成开口曲

边形梯面的 可记积作 x含其可义解为 理 A ilmb

1 A dx 2

b

1

b

dx 1 li m 2 b x 1x1 y 2 Ax

1

b 1 1 lim 1 b b 机动 录 上页目 下 页返 结束回

义1. 设f 定 (x) C [ , a ) , 取b a ,若

存在, 则 称极限此 f为(x) 的 无限反常穷积, 分作

记这称反常积时分 就称反积常

分敛 ; 收如果述上限极不在,存发 散 .类地似 ,若f (x) ( C ,b ] ,则定

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束结

若f ( ) xC ( , ,)则定 义lim af( x) x b d cf( x )d x a l im( c为 任意定取常的数 )只有一要极限不个在 ,存 就 发称散 c .b无穷限的常反分也积为称一类反常积第.分说明:上述定 中若出义现 ,并不非定型, 它明该表常反分发散 .

机积动目

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入记号引F ( ) lmiF ()x; x

( F) ilmF (x) x

有类则牛似 –公莱式计算表的达式

: a

f (x)d x F ()x

F ( F (a) )F (b) F ( )F ( ) F( ) (f ) xd x (x)F f x) dx( F (x ) b

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束结例1.

算计反积常分:解 [ actranx ]

yy

( ) 22

11 x 2

o

x思考 :析: 分原分积散 !

发注:意对 反常分积 只有,收在敛条件的才下能用 “偶倍使奇” 零性的质 ,则会否出错现误 .机动目录 上页 下页返回 结

例2束. 明第一类证 p积分 时散 .发

当p >1 时敛收; p 1≤

证当 : =1 时有

lnp x当p ≠1 时有

a

x 1 p a 1 p

,a 1 p, p 1p 1 1pa 1 p; 因 , 当此p 1 >时, 常积反收分敛 ,其值为 p 1 当 p≤1 ,时 常反积分发散.机动 目 录 页 上下页返 结回

束例

3. 算反常计积

t 分 pt 解: 原 式 e p1 p t e2p 1 2 p

1 p t e dt p0

动机

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二、

无函数界反常的分积引例:曲 线与 x轴 ,y 轴和直线 所围成

的口曲边梯形开的面可记作积y1 y x

含义其理可解为A lim 0

1

x 1d lmi 2 x x

A00

l m 2i( 1 ) 2 0 x

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束结

定义.2设 f (x ) C( a, ]b, 而

在点 a的右邻 内域无界若,限 极存在 , 称此极则为限函

数f x( 在) a[, b] 上的 反积分,常 作记这时反常积分称就称 常反积分收敛 ;如上果述限极不存在 发散 .

类,似地 , f 若 x( )C [a, b), 而 在 b的邻域左无内,界则定

义机 动录 目上 下页 返页回结束

而在点 的 c域内无界邻, 则义定

li m 1 0 a f (x)d x c f (x) d cx b a ( f) xx limd0 c 1 2 c

b

(fx )d 2

无x函数界的积分又作第称类二反常积, 无界点分称 为常点(奇瑕点) . 说明若被:积函数积在分间上仅区在有存限第个类一间断点 则,质本是常义积分, 上而不是常反积分 例如.,机 目录动 上 页下页返 结回束则

有类似也 牛 莱公式的的计算–达表式:

若 b 瑕为点 ,则若a 为点瑕,则

a

ab ( xf )d x F( b ) Fa) ( f(x )dx F ( b) F ( )a

b若 a , b都 瑕点为,则

a ab

bf( x dx ) F b( ) Fa ( )注意:若 瑕c 点 (a , b) 则,f ( x) x Fd( ) b F(c ) (cF ) (F)可相消吗?a机动 目 上录 页下 返回 页结束

4. 计算反例积分 解:常显 瑕然点为a ,以 所x a arcs n i rasin1c 式原 a 0 例5.2 论讨反积常分的收 敛 性.0

0xd 下1述解法否正确: dx 是 1 11 2 2 解 :1 0xxx 1 x 0 1 dx1 2 1 1 1 2 , 积分∴敛收 1 x x 1 发 散. 所以反常积 分 机

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回束结

例.6证 明反常积 时分散 发.

q <当 1 时敛 收; q≥1证 当 : = q 1,时当 q≠ 时1

n xl a1 q a b

1 qq 1

x( a) 1 q ( b a 1) qb q 1 , a ,

b ( a)1 q ;以所当q < 1 时,该广 积分收义敛, 其 值为 1q 当 q≥1 时 ,该广 义积发分 散.机动 目 上录 下页 返页 回束

例7. 解结 积：.分求 无穷的间断, 故 I点为反常 f x) I ( dx 211 f ( x0)f ( x) x d 2 2 f1( x3)f ( x) d f(x) 1 2f (x) d x 1 f 2 ( x) arc tna f( ) x C

2]

3 2 ] arc tan 2 2 27机 目动录上 页下 页返 回束结

内容小 结1.反常积 分 积分间区无限被积函无数

常界义分的极限积2.两 个要的重常积反分 , , p 1 1( p 1 a)p 1 p 1 ,机动目 录q 1上页下页 返 结回束