2019版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式专题检测试卷新人教A版选修4_5

2019

第三讲 柯西不等式与排序不等式

专题检测试卷(三)

(时间：90分钟 满分：120分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1．设a 1≤a 2≤a 3…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3…≤b n 为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( )

A ．反序和≥乱序和≥顺序和

B ．反序和＝乱序和＝顺序和

C ．反序和≤乱序和≤顺序和

D ．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定

答案 C

2．已知m 2＋n 2＝2，t 2＋s 2＝8，则|mt ＋ns |的最大值为( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

答案 B

解析 ∵(m 2＋n 2)(t 2＋s 2)≥(mt ＋ns )2，

∴(mt ＋ns )2≤2×8＝16，

∴|mt ＋ns |≤4.

当且仅当ms ＝nt 时，等号成立．

3．已知a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝

⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c 的最小值为( ) A ．1B.3C ．3D ．4

答案 D

解析 (a ＋b ＋c )⎝

⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c ＝[(a ＋b)2＋(c)2]⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2 ≥⎝

⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b ＋c ·1c 2＝22＝4， 当且仅当a ＋b ＝c 时取等号．

4．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( )

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A.5

B.3C ．23D.

32

答案 B 解析 1＝a ＋b ＋4c ＝(a)2＋(b)2＋(2c)2 ＝13

[(a)2＋(b)2＋(2c)2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c)2·13

， ∴(a ＋b ＋2c)2≤3，即当且仅当a ＝b ＝4c 时等号成立．

5．函数f (x )＝1－cos2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A.3B.2C ．1D ．2

答案 A

解析 由f (x )＝1－cos2x ＋cos x ，

得f (x )＝2sin2x ＋cos x

≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝ 3.

当且仅当cos x ＝33

时取等号. 6．设a ，b ，c 均为实数，则

a ＋

b ＋

c a2＋2b2＋3c2的最大值为( ) A.116B.666 C.62D.116

答案 B

解析 由(a 2＋2b 2＋3c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ·1＋2b ·12＋3c ·132， 即(a 2＋2b 2＋3c 2)·116

≥(a ＋b ＋c )2， ∴(a ＋b ＋c )2

a 2＋2

b 2＋3

c 2≤116

. ∴a ＋b ＋c a2＋2b2＋3c2≤666. 7．已知a ，b ，x 1，x 2∈R ＋，ab ＝1，x 1＋x 2＝2，则M ＝(ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)与4的大小关系是( )

A ．M ＞4

B ．M ＜4

C ．M ≥4D．M ≤4

答案 C

解析 (ax 1＋bx 2)(bx 1＋ax 2)

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＝[(ax1)2＋(bx2)2]·[(bx1)2＋(ax2)2

] ≥[ab(x 1＋x 2)]2＝(x 1＋x 2)2＝4.

8．已知x ＋y ＋z ＝1，则2x 2＋3y 2＋z 2的最小值为( )

A.211

B.311

C.511

D.611

答案 D 解析 ∵(2x 2＋3y 2＋z 2)·⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＋13＋1≥(x ＋y ＋z )2＝1， ∴2x 2＋3y 2＋z 2≥611

. 当且仅当2x 12＝3y 13

＝z 1

时，等号成立． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

9．函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为__________．

答案 6 3 解析 由柯西不等式，得y ＝5x －1＋2·5－x ≤52＋2·x －1＋5－x ＝27×2＝63，

当且仅当55－x ＝2(x －1)，

即x ＝12727

时，等号成立． 10．如图，在矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1

≤b 2，则阴影部分的矩形面积之和________空白部分的矩形面积之和．

答案 ≥

解析 由题图可知，阴影部分的面积等于a 1b 1＋a 2b 2，而空白部分的面积等于a 1b 2＋a 2b 1，根据顺序和≥反序和可知，答案为≥.

11．已知0＜x ＜1,0＜y ＜1，则函数f (x )＝x2＋y2＋(1－x )2＋(1－y )2的最小值是________． 答案 2 解析 由三角不等式，得

x2＋y2＋(1－x )2＋(1－y )2

≥[x －(x －1)]2＋[y －(y －1)]2＝ 2.

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当且仅当x ＝1－x ，y ＝1－y ，即x ＝12，y ＝12

时，等号成立．故f (x )的最小值为 2. 12．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a·b 的最小值为______，此时b ＝________. 答案 －18 (4，－2，－4)

解析 根据柯西不等式的向量形成，有|a·b |≤|a ||b |，

∴|a·b |≤(－2)2＋12＋22

×6＝18.

当且仅当存在实数k ，使a ＝k b 时，等号成立．

∴－18≤a·b ≤18.

∴a·b 的最小值为－18，此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)．

三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)

13．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，求2a ＋2b ＋2c 的最小值． 解 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭

⎪⎫2a ＋2b ＋2c ＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝

⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 2 ≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立． ∴2a ＋2b ＋2c

≥2， ∴2a ＋2b ＋2c

的最小值为2. 14．(2017·江苏)已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8. 证明 由柯西不等式，得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，

因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，

所以(ac ＋bd )2≤64，

因此ac ＋bd ≤8.

15．已知二次三项式f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1x 2＝1时，必有f (x 1)f (x 2)≥1.

证明 f (x 1)f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )·(ax 2＋bx 2＋c )

≥[a (x1x2)2＋b x1x2＋c ]2

＝f 2(x1x2)＝f 2(1)＝1.

故f (x 1)f (x 2)≥1.

16．已知x 2＋2y 2＋3z 2＝1817，求3x ＋2y ＋z 的最小值．

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解 (x 2＋2y 2＋3z 2

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