四川大学锦城学院微积分(二)期末复习题答案-A卷

四川大学锦城学院微积分(二)期末复习题答案-A卷

四川大学锦城学院期末复习题

一、填空题

∫1. lim

0x

3

3x2 cosx

=lim= cos0= 1 32→x→0x0sinx3x

z_____,z_______ 2.

设x+2y+z =0, 求

y x

dt

解

令F(x,y,z)=x+2y+z 则

Fx′=1

Fy′=2

,

Fz′=1

Fy′Fx′ z z

= =

= =

′ xFz′yFz

3. 4.

∫∫

3 310

x=1x2

dx∫f(x，y)dy=

（交换积分次序）答∫dy∫

10

f(x，y)dy

5.

设z=答Qz=

∞

dz=1xdxydy ln(x2+y2)∴dz=2+222

2x+yx+y

5nx2n6．∑的收敛半径R= 答:

nn=1

7、下列四个级数中，

∞∞∞

22n+1n+1n、、 、 ( 1)∑

∑∑∑54

n=1n 2n=1n=1nn=17n 3∞

n+1

52n+1n+1→1 发散的是 答: ∑,注∑5 1n=17n 3n=1n 2

n4

∞

∞

二、计算下列定积分 1.

∫

32

2..∫t3lntdt

1

2

解1 原式

=

∫

32

(x+2 (x+2)=∫(x+2)d(x+2) ∫(x+2)=L

2

2

21

3

32

3

12t4lnt4

解2.原式=∫lntdt=

414

∫

2

1

t315

dt=4ln2 416

三、判断下列级数是绝对收敛,条件收敛还是发散。说明理由

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n∞

|u|2n 19 1. ∑( 1) (条件收敛) 2. ∑( 1)(绝对收敛) limn1=0 n→∞|u|nn!n=2n=1n

∞

n

四、计算二重积分

2

，其中D是由曲线x=y和直线x+y=2所围成。 (x+y)dxdy∫∫D

解: 曲线交点(4, 2),(1,1)

∫

1 2

dy∫

2 yy2

y2

(x+y)dx=∫(2 )dy=3

22

1

五、1.求曲线y=2x+3,y=x围成的面积.

2

解 画斜线部分在x轴上的投影区间为[ 1, 3]. 所求的面积为

A=

∫

3 1

(2x+3 x2)dx=(x2+3x

2

13332x)| 1=. 33

2. 求曲线y=2x+3,y=x围成的几何图形绕x轴旋转体积.. 解V=π

2

∫

3

1

(2x+3)dx π∫x4dx=L

2

=1

3

2z

六、z=f(xy, xy); 其中f具有连续二阶偏导数,求2

x

2

解 zx=f1′ y zxx=y

2

2

+f2′ 2xy=y2f1′+2xyf2′,

[f11′′ y2+f12′′ 2xy]+2yf2′′+2xy[f21′′ y2+f22′′ 2xy]

=y4f11′′+2xy3f12′′+2yf2′′+2xy3f21′′+4x2y2 f22′′ =y4f11′′+4xy3f12′′+2yf2′′+4x2y2 f22′′,

七、

dy

+y=ex; dx

dxdxx

解 y=e∫(ex e∫dx+C)=e x(e2xdx+C)=e x(+C)

∫∫

2

nx八、1.求幂级数∑的收敛区域及和函数. n(n+1)n=1

∞

解 幂级数的收敛域为[－1,1]略.设和函数为S(x), 即S(x)=

1

xn ∑n=1n(n+1)

∞

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∞

11n 12

S′(x)=∑x 令g(x)=xS′(x)=∑xn+1

n=1(n+1)n=1(n+1)

∞

xt 1+1x

g(x) g(0)=∫dt= x ln(1 x)

01 x1 t∞

g′(x)=∑xn=

n=1

g(x)=x2S′(x)= x ln(1 x) S′(x)=

x ln(1 x)

,x≠0

x2

x ln(1 x)

,x≠0 2

x

S′(x)=

∞

2.

2n 12(n 1)

; x∑n

2n=1

解 收敛

域(<x<,设幂级数的和函数为S(x), 则

x2

∞

x2nx2=∑(== 22

x22 xn=1

1

2

∫

x

∞x112n 1

x ∫S(t)dt=∑nx2nS(t)dt=∑nx

n=12n=12

∞

∫

x

x2+x2

S(t)dt= S(x)= ,(<x<

2

x2(2 x2)2

九. S=xy+2xz+2yz(x>0, y>0, z>0).在xyz=k下的最大值.

法1作函数F(x, y, z)=xy+2xz+2yz+λ(xyz k). Fx=y+2z+λyz=0

Fy=x+2z+λxz=0

解方程组 ,

Fz=2x+2y+λxy=0 xyz=k

得唯一可能的极值点(k, k,1k).

2

法2：由条件xyz=k 有z=

k

代入原函数求无条件极值. xy