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§3 相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质 三、利用相似变换将方阵对角化

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一、相似矩阵与相似变换的概念1 定义使 设 A , B 都是 n 阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , P 1 AP = B ,

则称 B 是 A 的相似矩阵 , 或说矩阵 A 与 B 相似. 对 A 进行运算 P 1 AP 称为对 A进行相似变换 , 可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B的相似变换矩阵 .

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二、相似矩阵与相似变换的性质若A与B相似, 则Am 与B m 相似(m 为正整数 ).

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定理3 定理 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似, 则 A 与 B 的特征

多项式相同 , 从而 A 与 B 的特征值亦相同 .证明 Q A与B相似 ,

∴ 存在可逆阵 P , 使得P 1 AP = B ,∴ B λE = P 1 AP P 1 (λE )P = P 1 ( A λ E ) P = P 1 A λ E P= A λE .

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阶方阵A与对角阵 推论 若 n 阶方阵 与对角阵 λ1 λ2 Λ= O λn

相似 , 则λ1 , λ2 ,L , λn 即是 A 的 n 个特征值 .

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利用对角矩阵计算矩阵多项式 k个 个 若A = PB P 1 , 则 k = PB P 1 PB P 1 LPB P 1PB P 1= P B k P 1 . A A的多项式

( A) = a 0 An + a1 An 1 + L + a n 1 A + a n E= a 0 P B n P 1 + a 1 P B n 1 P 1 + L + a n 1 PB P 1 + a n PE P 1 = P ( a 0 B n + a1 B n 1 + L + a n 1 B + a n E ) P 1 = P ( B ) P 1 .

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特别地, 若可逆矩阵 P使 P 1 AP = Λ为对角矩阵 , 则 = P Λ k P 1 , Ak

( A) = P ( Λ ) P 1 .

对于对角矩阵 Λ , 有k λ1 λk 2 k Λ = , O k λn

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( λ 1) ( λ 1) , (Λ ) = O ( λ 1) 利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 利用上述结论可以很方便地计算矩阵 的多项式 ( A) . 定理 设 f (λ) 是矩阵 A的特征多项式则 f ( A) = O. ,

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三、利用相似变换将方阵对角化对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP = Λ为对角阵 , 这就称为把方阵 A对角化 .

定理4 n阶矩阵 A与对角矩阵相似 (即A能对角化 ) 定理 的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .

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推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 个特征值互不相等， 与对角阵相似. 则 A 与对角阵相似. 与对角阵相似的充分条件) (A与对角阵相似的充分条件) 与对角阵相似的充分条件 说明 如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 的特征方程有重根， n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 个线性无关的特征向量， 对角化， 个线性无关的特征向量， 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化. 还是能对角化.

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判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？

2 1 2 1 2 2 (1)

A = 2 2 4 ( 2) A = 5 3 3 1 0 2 2 4 2 解 1 λ 2 2 4 (1 ) 由 A λ E = 2 2 λ 2 4 2 λ= (λ 2) (λ + 7)2

=0

得 λ1 = λ2 = 2, λ3 = 7.

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将 λ1 = λ2 = 2代入 ( A λ1 E ) x = 0, 得方程组 x1 2 x2 + 2 x3 = 0 2 x1 4 x2 + 4 x3 = 0 2x + 4x 4x = 0 1 2 3解之得基础解系

2 0 α1 = 0 , α2 = 1 . 1 1

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同理 , 对λ 3 = 7,由( A λE ) x = 0,

求得基础解系 α 3 = (1,2,2 )

T

2 0 1 由于 0 1 2 ≠ 0, 1 1 2

所以 α 1 ,α 2 ,α 3线性无关 .

即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角 化.

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2 1 2 ( 2) A = 5 3 3 1 0 2 2+λ 2 1 3 λE A = 5 3 + λ 1 = 1 × ( 1)3+1 1 3 + λ 0 2 + λ

2+λ c3 + (λ 2)c1 5 1

1 3 + λ 0

λ2 2 5λ 70

λ2 2 = (λ 1)3 5λ 7

所以A的特征值为 λ1 = λ2 = λ3 = 1.

把λ = 1代入 ( λ E A ) x = 0, 解之得基础解系 T ξ = ( 1, 1,1) ,不能化为对角矩阵. 故A 不能化为对角矩阵

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6 0 4 例2 设A = 3 5 0 3 6 1 A能否对角化？若能对角 化 , 则求出可逆矩阵 P , 能否对角化？ 能否对角化 使 P 1 AP 为对角阵 .解

4 λ

6

A λE = 3 3

5 λ 1 λ 6

0 = (λ 1) (λ + 2)2

0

所以A 所以 的全部特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2.

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将λ1 = λ2 = 1代入 ( A λE ) x = 0得方程组

3 x1 + 6 x2 = 0 3 x1 6 x2 = 0 3 x 6 x = 0 1 2解之得基础解系

2 ξ1 = 1 , 0

0 ξ2 = 0 . 1

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将 λ3 = 2代入 ( A λ E ) x = 0,由

6 6 0 1 0 1 A + 2 E ) = 3 3 0 → L → 0 1 1 ( 3 6 3 0 0 0 得基础解系为

ξ 3 = ( 1,1,1) .T

由于 ξ1 ,ξ 2 ,ξ 3 线性无关 . 2 P = (ξ1 ,ξ2 ,ξ3 ) = 1 令 0 1 1 P AP = 0 则有 0

所以 A 可对角化 可对角化. 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 . 0 2

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1 若令P = (ξ 3 ,ξ 1 ,ξ 2 ) = 1 1 2 0 1 P AP = 0 1 则有 0 0

注意

2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1

即矩阵 P的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应. 要相互对应.

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例 3

设

0 0 1 A = 1 1 x 1 0 0

问x为何值时，矩阵 能对角化？ 为何值时， 能对角化？ 为何值时 矩阵A能对角化 解：

0 λ A λE = 1 1 λ 1 0

λ x = (1 λ ) 1 λ

1

1 λ

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= (λ 1) 2 (λ + 1)得

λ1 = 1 , λ2 = 1

由于A可对角化所以二重根 λ1 =

λ2 = 1有两个 线性无关的特征向量于 是R( A E ) = 1 1 0 1 1 0 所以 A E = 1 0 x ~ 0 0 1 0 1 0 0 1 x + 1 0

所以

x = 1