习题7.隐函数求导

习题七.隐函数求导 z z 2 x sin x yz 一. 2 x x y sin x yz2

, y x y sin x z

1 z sin x yz2 2

yz

二. z

x

z sin z yx2

y 1

2 xz x cos z

,

z y

x ln x 2 xz x cos z

y

四 . 要点 :五.

z x

c 2 zF y c 2 zF dz x dy x 6 z 1 , dx 3z 1 dx 2 y 3 z 1

2 xF a

,

z

2 yF b

三解.

F ( x , y , z ) e xyz ,z

z

z2

x

2

y

y

e xy yz e xy z yze y e e xy z 2

x Fz z z z x e xy z e z x y

Fx

yz e xyz

,

z

z

z

xy

z

3

2 y ze 2 xy z y z e2 z 3 2 2

z

e

z

xy

3

六解. x e cos v , y e sin v , 两端关于 x 求导u u

得: 1 e u u cos v e u sin v v x x

(1) (2)

0 e u x sin v e cos v v xu u

(1) cos v ( 2 ) sin v 得 : (1) sin v ( 2 ) cos v 得 :

ux e

u

cos v sin v

z x

vx e

u

u x v uv x e u

u

v cos

v u sin v u

同理 , 关于 y 求导 , 得 :

uy e

sin v

,vy e

cos v

z u 则： u y v uv y e v sin v u cos v y七、由 (*) 2 x 2 z z x u x u x( 1 ,1 )

z

x

3 ( yz xy 1 1 1

z

x

) 0

3 yz 2 x 2 z 3 xy2 3

2

z x2 ( 1 , 1 ,1 )

y z xy

3z

z x

1 3 ( 1) 2

七另 解.

F x y z 3 xyz2 2 2

z x

Fx Fz

3 yz 2 x 2 z 3 xy3 2

,

z x 1 ,1 ,1 2

1 z x

u x

y z xy2

3z

u x 1 ,1 ,1

1 3 1 2

八解法一. 其中:

G f x, t y ,

dy dx

1 F , G J x, t

J

F , G y, t

Fy Gy

Ft Gt

Fy 1

Ft ft

Fy ft F t

F , G x, t 八解法二.

Fx Gx

Ft Gt

Fx fx

Ft ft

F x f t Ft f x(1) (2)

dy f x dx f t dt

F x dx F y dy F t dt 0 由 ( 2 )中解出 dt 代入 (1)中 , 即得 .