空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

空间向量与立体几何

【知识要点】

1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算：

①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．

②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：(a＋b＋c)＝a＋(b＋c)；

分配律：( ＋ )a＝ a＋ a； (a＋b)＝ a＋ b． (2)空间向量的基本定理：

①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数 ，使得a∥ b．

②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在惟一一对实数 ， ，使得c＝ a＋ b．

③空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组 1， 2， 3，使得p＝ 1a＋ 2b＋ 3c．

(3)空间向量的数量积运算：

①空间向量的数量积的定义：a·b＝|a｜|b｜cos〈a，b〉； ②空间向量的数量积的性质：

a·e＝|a｜cos＜a，e＞；a⊥b a·b＝0； |a|2＝a·a；|a·b|≤|a｜|b｜． ③空间向量的数量积的运算律： ( a)·b＝ (a·b)； 交换律：a·b＝b·a；

分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (4)空间向量运算的坐标表示：

①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i，j，k｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，那么有序数组(a1，a2，a3)就叫做空间向量a的坐标，即a＝(a1，a2，a3)．

②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； a＝( a1， a2， a3)；a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． ③空间向量平行和垂直的条件：

a∥b(b≠0) a＝ b a1＝ b1，a2＝ b2，a3＝ b3( ∈R)； a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

222

|a| a a12 a2 a3,|b| bb b12 b2 b32;

cos a,b

a1b1 a2b2 a3b3a b ;

222222|a||b|a1 a2 a3b1 b2 b3

在空间直角坐标系中，点A(a1，a2，a3)，B(b1，b2，b3)，则A，B两点间的距离是

|AB| (a1 b1)2 (a2 b2)2 (a3 b3)2.

2．空间向量在立体几何中的应用：

(1)直线的方向向量与平面的法向量：

①如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得 ta，其中向量a叫做直线的方向向量．

由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．

②如果直线l⊥平面 ，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面 的法向量． 由此可知，给定一点A及一个向量a，那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：

设直线l，m的方向向量分别是a，b，平面 ， 的法向量分别是u，v，则 ①l∥m a∥b a＝kb，k∈R； ②l⊥m a⊥b a·b＝0； ③l∥ a⊥u a·u＝0；

④l⊥ a∥u a＝ku，k∈R； ⑤ ∥ u∥v u＝kv，k∈R； ⑥ ⊥ u⊥v u·v＝0．

(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：

①异面直线所成的角：设a，b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．

设异面直线a与b的方向向量分别是v1，v2，a与b的夹角为 ，显然 (0,],则

π2

|cos v1,v2 |

|v1 v2|

|v1||v2|

②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．

设直线a的方向向量是u，平面 的法向量是v，直线a与平面 的夹角为 ，显然

[0,]，则|cos u,v |

π2

|u v|

|u||v|

③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作 －l－ 在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角 －l－ 的平面角．

利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一：

如图，若AB，CD分别是二面角 －l－ 的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角

－l－ 的大小就是向量与的夹角的大小．

方法二：

如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面 ， 的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．

(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题． 【复习要求】

1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 4．理解直线的方向向量与平面的法向量．

5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系． 6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题． 【例题分析】

例1 如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1

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