空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

时间:2025-07-10

空间向量与立体几何

【知识要点】

1.空间向量及其运算: (1)空间向量的线性运算:

①空间向量的加法、减法和数乘向量运算:平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立.

②空间向量的线性运算的运算律: 加法交换律:a+b=b+a;

加法结合律:(a+b+c)=a+(b+c);

分配律:( + )a= a+ a; (a+b)= a+ b. (2)空间向量的基本定理:

①共线(平行)向量定理:对空间两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数 ,使得a∥ b.

②共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是存在惟一一对实数 , ,使得c= a+ b.

③空间向量分解定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在惟一的有序实数组 1, 2, 3,使得p= 1a+ 2b+ 3c.

(3)空间向量的数量积运算:

①空间向量的数量积的定义:a·b=|a||b|cos〈a,b〉; ②空间向量的数量积的性质:

a·e=|a|cos<a,e>;a⊥b a·b=0; |a|2=a·a;|a·b|≤|a||b|. ③空间向量的数量积的运算律: ( a)·b= (a·b); 交换律:a·b=b·a;

分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. (4)空间向量运算的坐标表示:

①空间向量的正交分解:建立空间直角坐标系Oxyz,分别沿x轴,y轴,z轴的正方向引单位向量i,j,k,则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i,j,k},由空间向量分解定理,对于空间任一向量a,存在惟一数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k,那么有序数组(a1,a2,a3)就叫做空间向量a的坐标,即a=(a1,a2,a3).

②空间向量线性运算及数量积的坐标表示: 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3); a=( a1, a2, a3);a·b=a1b1+a2b2+a3b3. ③空间向量平行和垂直的条件:

a∥b(b≠0) a= b a1= b1,a2= b2,a3= b3( ∈R); a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0. ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式: 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则

222

|a| a a12 a2 a3,|b| bb b12 b2 b32;

cos a,b

a1b1 a2b2 a3b3a b ;

222222|a||b|a1 a2 a3b1 b2 b3

在空间直角坐标系中,点A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3),则A,B两点间的距离是

|AB| (a1 b1)2 (a2 b2)2 (a3 b3)2.

2.空间向量在立体几何中的应用:

(1)直线的方向向量与平面的法向量:

①如图,l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,对空间任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得 ta,其中向量a叫做直线的方向向量.

由此可知,空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定.

②如果直线l⊥平面 ,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面 的法向量. 由此可知,给定一点A及一个向量a,那么经过点A以向量a为法向量的平面惟一确定. (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:

设直线l,m的方向向量分别是a,b,平面 , 的法向量分别是u,v,则 ①l∥m a∥b a=kb,k∈R; ②l⊥m a⊥b a·b=0; ③l∥ a⊥u a·u=0;

④l⊥ a∥u a=ku,k∈R; ⑤ ∥ u∥v u=kv,k∈R; ⑥ ⊥ u⊥v u·v=0.

(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题:

①异面直线所成的角:设a,b是两条异面直线,过空间任意一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所夹的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角.

设异面直线a与b的方向向量分别是v1,v2,a与b的夹角为 ,显然 (0,],则

π2

|cos v1,v2 |

|v1 v2|

|v1||v2|

②直线和平面所成的角:直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.

设直线a的方向向量是u,平面 的法向量是v,直线a与平面 的夹角为 ,显然

[0,],则|cos u,v |

π2

|u v|

|u||v|

③二面角及其度量:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.记作 -l- 在二面角的棱上任取一点O,在两个半平面内分别作射线OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB叫做二面角 -l- 的平面角.

利用向量求二面角的平面角有两种方法: 方法一:

如图,若AB,CD分别是二面角 -l- 的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角

-l- 的大小就是向量与的夹角的大小.

方法二:

如图,m1,m2分别是二面角的两个半平面 , 的法向量,则〈m1,m2〉与该二面角的大小相等或互补.

(4)根据题目特点,同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题. 【复习要求】

1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示;能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 4.理解直线的方向向量与平面的法向量.

5.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系. 6.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题. 【例题分析】

例1 如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1

上, …… 此处隐藏:6748字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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