4-2.1实际问题中导数的意义

§2

导数在实际问题中的应用

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第四章 导数应用

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2.1 实际问题中导数的意义

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1.理解平均变化率与导数的关系. 2.理解导数的实际意义. 3.体会导数意义在实际生活中的应用.

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1.导数实际意义的应用.(重点) 2.多以导数概念及导数运算结合，一起考查.(难点)

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1.函数平均变化率的定义 已知函数 y=f(x),任取一点 x0,x1 在 x0 附近，令 Δx= x1-x0, Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0), 则当 Δx≠0 f x0+Δx -f x0 Δy 时，比值 = 称作函数在自变量 x0 附近的 Δx Δx

平均变化率

.

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2.瞬时速度 我们知道，非匀速直线运动的物体，位移 s 与所经过的时 间 t 的关系式是 s=s(t).设 Δt 为时间改变量，从 t0 到 t0+Δt 这段时间内，物体的位移是 Δs=s(t0+Δt)-s(t0),那么，位移 改变量 Δs 与时间改变量 Δt 的比，就是这段时间内物体的平均 Δs s t0+Δt -s t0 速度 v ,即 v = Δt = ,物体在 t0 时的瞬时速度 v, Δt 就是运动物体在 t0 到(t0+Δt)这段时间内的平均速度 v 在 Δt 趋 于零时所趋近的那个数.

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实际问题中导数的意义 导数的意义 路程 速度 质量 功 生产成本 降雨量 速度 加速度

线密度 功率 边际成本降雨强度

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1.如果物体做直线运动的方程为s(t)=2(1-t)2,则其在t=4

s时的瞬时速度为(A.12 C.4

)B.-12 D.-4

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解析： Δs=s(4+Δt)-s(4) =2(1-4-Δt)2-2(1-4)2 =2Δt2+12Δt Δs =2Δt+12 Δt ∴瞬时速度 12. 答案： A

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2.从时间t=0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可

由公式q=2t2+3t表示，则第5 s时的电流强度为(A.27 C/s B.20 C/s

)

C.25 C/s解析： q=2t2+3t ∴q′=4t+3 ∴q′(5)=23. 答案： D

D.23 C/s

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3.球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为

______.

4 3 解析： V= πR 3 4 3 4 3 π2 - π1 3 3 ∴平均膨胀率= 2-1 28π = 3

28π 答案： 3

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4.如果一质点从固定点A开始运动，位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为y=s(t)=t3+3.

求：(1)t=4时，物体的位移s(4);(2)t=4时，物体的速度v(4); (3)t=4时，物体的加速度a(4).

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解析： y=s(t)=t3+3

(1)t=

4时，s(4)=43+3=67(m)(2)V(4)=s(t)=3·42=48 m/s

(3)a(t)=V′(t)=6t∴a(4)=V′(4)=24 m/s2.

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