学海

无涯

2013年12月2日11时6分

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考点一 两圆的位置关系 设 R、r 为两圆的半径，d 为圆心距. (1)两圆外离 d>R+r; (2)两圆外切 d=R+r; (3)两圆相交 R-r<d<R+r(R≥r); (4)两圆内切 d=R-r(R>r); (5)两圆内含 d<R-r(R>r). (注意：两圆内含时，如果 d 为 0,则两圆为同心圆)

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考点二 三角形 多边形 的内切圆 1.与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念 (1)和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形内心，这个 三角形叫做圆的外切三角形； (2)和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形. 2.三角形的内心的性质 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部.

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考点三 相交、相切两圆的性质 1.相交两圆的连心线，垂直平分公共弦，且平分两条外公切线所夹的角.(注：平分两 外公切线所夹的角，通过角平分线判定“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”, 很容易证明.) 2.相切两圆的连心线必经过切点. 3.两不等圆相离时，两圆的连心线平分内公切线的夹角和外公切线的夹角.

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(1) 已知两圆的半径分别是 4 和 6,圆心距为 7,则这两圆的位置关系是( A.相交 B.相切 C.外离 D.内含

(2) 若两圆相切，圆心距是 7,其中一个圆的半径为 10,则另一个圆的半径为________.

(3) 如图， Rt△ABC 中， ∠C=90° AC=6, , BC=8.则△ABC 的内切圆半径 r=________.

例 1(3)题

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例 1(4)题 (4) 如图，分别以 A、B 为圆心，线段 AB 的长为半径的两个圆相交于 C、D 两点， 则∠CAD 的度数为________.

【点拨】理解本讲基础知识是作此类题的关键.

【解答】(1)∵6-4<7<6+4,∴两圆相交，故选 A. (2)由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为 d=R-r,即|10-r|=7, ∴r=3 或 17. a+b-c 6+8-10 (3)直角三角形内切圆的半径 r= = =2. 2 2 (4)连结 BC、BD,得△ACB 和△ADB 为等边三角形， ∴∠CAD=∠CAB+∠DAB=60° +60° =120° .

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如图，已知⊙O1 与⊙O2 都过点 A,AO1 是⊙O2 的切线，⊙O1 交 O1O2 于点 B, 连结 AB 并延长交⊙O2 于点 C,连结 O2C. (1)求证：O2C⊥O1O2; (2)证明：AB· BC=2O2B· 1; BO

【点拨】(1)题利用切线性质及等边对等角证明. (2)题考查相似三角形的判定和性质.

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1.已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 3 cm 和 2 cm,且 O1O2=1 cm,则⊙O1 与⊙O2 的位置 关系为内切.

2.若⊙O1 和⊙O2 外切，O1O2=10 cm,⊙O1 半径为 3 cm,则⊙O2 半径为 7cm.

3.已知相交两圆的半径分别为 5 cm 和 4 cm,公共弦长为 6 cm,则这两个圆的圆心距是 (4± 7) cm.

4.如图，⊙A、⊙B 的半径分别为 1 cm、2 cm,圆心距 AB 为 5 cm.如果⊙A 由图示位 置沿直线 AB 向右平移 3 cm,则此时该圆与⊙B 的位置关系是相交.

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5.如图，两个同心圆的圆心是 O,大圆的半径为 13,小圆的半径为 5,AD 是大圆的直 径.大圆的弦 AB、BE 分别与小圆相切于点 C、F.AD、BE 相交于点 G,连结 BD. (1)求 BD 的长； (2)求∠ABE+2∠D 的度数； BG (3)求 的值. AG

答案：(1)10 (2)180° (3)

BG OB 13 = = (提示：证△BGO∽△AGB) AG AB 24

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考点训练 27

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圆与圆的位置关系

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训练时间：60分钟 分值： 训练时间：60分钟 分值：100分

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学海一、选择题(每小题 4 分，共 48 分)

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1. 两圆的半径分别为 3 和 5,圆心距为 7,则两圆的位置关系是( A.内切 B.相交 C.外切 D.外离

)

【解析】∵5-3<7<5+3,∴两圆相交. 【答案】B2. 已知两圆的半径分别是 3 和 2,圆心的坐标分别是(0,2)和(0,-4),那么两圆的位置 关系是( ) A.内含 B.相交 C.相切 D.外离

【解析】∵圆心的坐标是(0,2)和(0,-4),∴两圆圆心距为 6>3+2,∴两圆外离. 【答案】D

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3.已知相互内含的两圆半径为 6 和 2,则两圆的圆心距可能是( A.8 B.4 C.2 D.5

)

【解析】∵两圆内含，∴圆心距 d<6-2,即 d<4,故选 C. 【答案】C4.已知两圆的半径 R、r 分别为方程 x2-5x+6=0 的两根，两圆的圆心距为 1,则两圆 的位置关系是( ) A.外离 B.内切 C.相交 D.外切【解析】解 x2-5x+6=0,得 x1=2,x2=3. ∵圆心距 1=3-2,∴两圆内切.

【答案】B

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