第7章 空间问题的有限单元法7.1 三维应力状态 7.2 空间结构的离散化 7.3 简单四面体单元 7.4 20结点等参元 7.5 ANSYS空间问题计算示例

工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意空间载荷作用的任意形状几何 体.

第77章 空间问题的有限单元法7.1 三维应力状态工程结构一般都是立体的弹性体。受力作用后，其 内部各点将沿x 、 y 、 z坐标轴方向产生位移，是三维空 间问题，其应力状态如图7-1所示。 各点沿x、y、z方向的位移 以u、v、w表示，这些位移 为各点坐标的函数，即：

图7-1 空间结构应力状态

u=u( x、y、z) v=v( x、y、z) w=w( x、y、z)

第7章 空间问题的有限单元法由弹性力学知，应变与位移间的几何关系是 u x v y y

x

xy yz

u v y x v w z y w u x z0 y 0 x z 0 0 0 u z v 0 w y x

(7-1)

z

三维弹性体的应 变分量，用矩阵表示 为

w z

zx

x x 0 y z 0 xy yz y zx 0 z

(7-2)

第7章 空间问题的有限单元法弹性体受力作用，内部任意一点的应力状态也是三 维的，用列向量表示为

x y z xy yz zx T

在线弹性范围内，应力与应变间的物理关系矩阵表达式为 (7-3) D 对于各向同性弹性体，在三维应力状态下，弹性 矩阵 D 的形式为 1 1 1 E 1 D 1 1 2 0 0 0 1 对 1 0 0 0 1 2 2 1 0 0 称

1 0 0 0

1 2 2 1 0

1 2 2 1

(7-4)

第7章 空间问题的有限单元法7.2 空间结构的离散化空间问题所选用的单元形状如图7-2所示。

(a) 四结点四面体单元 (b) 八结点平行6面体单元 (c) 八结点任意6 面体单元

(d) 二十结点任意6面体单元

(e) 八结点板壳单元

(f) 四面体组合体

图7-2 空间结构单元类型

第7章 空间问题的有限单元法其中，最简单的空间单元是四面体单元。采用四面 体单元和线性位移函数处理空间问题，可以看作是平面 三角形单元的推广。 如图7-2(f)所示，一个平行6面体可由5个四面体组成， 其基本单元仍是四面体。它们分别由如下结点组成： 2→3→4→7,1→2→4→5,2→4→7→5,2→7→6→5, 4→7→5

→8。

7.3 简单四面体单元7.3.1 形状函数图7-2(a)表示任一简单四面体单元，其中四个结点编 号设为 i、j、m、n (或1、2、3、4)。单元变形时，各结 点沿x、y、z方向上的位移，以列向量表示为

第7章 空间问题的有限单元法 e uivi wi u j v j w j u m vm wm u n vn wn

T

单元变形时，单元内各点也有沿x、y、z方向的位移 u、v、w,一般应为坐标x、y、z的函数。对于这种简单 的四面体单元，其内部位移可假设为坐标的线性函数， 为满足变形协调条件，取为 u 1 2 x 3 y 4 z (7-5) v 5 6 x 7 y 8 z w 9 10 x 11 y 12 z 式(7-5)含有12个待定系数a,可由单元的12项结点 位移决定.将4个结点的坐标值代入式(7-5)的u式中。 i、j、 m、n共4个结点，分别有 u i 1 2 xi 3 y i 4 z i u j 1 2 x j 3 y j 4 z j (7-7) u m 1 2 xm 3 y m 4 z m u n 1 2 xn 3 y n 4 z n

第7章 空间问题的有限单元法a 由式(7-7)求出 a1、 2 、a3和 a4,再代回式(7-5) 中，整理后得u Ni ui N j u j N mum Nnun

其中 N i

1 ai bi x ci y d i z 6V1 xi yi yj ym yn zi zj zm zn

式中，V为四面体的体积，且有 V 1 1 x j

6 1 xm 1 xn

xj ai x m xn

yj ym yn

zj zm zn zj zm zn

1 1

yj yn

zj zm zn yj ym yn

bi 1 y m

(7-7)

1 xj ci 1 x m 1 xn

1 xj d i 1 xm 1 xn

第7章 空间问题的有限单元法为使四面体的体积V不为负值，在右手坐标系中， 使右手旋转按着由i- j- m的转向转动时，是向法向n方向 前进。 用求位移u的同样方法，可求得

v Ni vi N j v j Nmvm Nn vn Ni vii , j ,m ,n

w Ni wi N j wj N m wm N n wn Ni wi将位移的3个线性方程形成的线性方程组用矩阵 表示为i , j ,m ,n

u e v N w NjI Nm I

(7-8)

式中

N Ni I

Nn I

(7-9)

第7章 空间问题的有限单元法7.3.2 单元刚度矩阵将式(7-8)代入几何方程式(7-2),经过微分运算，可 得单元内应变为 B e Bi B j Bm Bn e (7-10) N i x 0 0 Bi N i y 0 N i z 0 N i y 0 N i x N i z 0 0 0 bi 0 N i z 1 0 6V ci 0 0 N i d i y N i x 0 ci 0 bi di 0 0 0 di 0 ci bi

式中

(7-11)

简单四面体单元内，各点的应变都是一样的，这是

一种常应变单元。这一点与平面问题的简单三角形单元 相似，由于单元内位移都假定为线性变化的，因而由位 移一阶导数组成的应变也为常量。

第7章 空间问题的有限单元法同样，用虚功原理建立结点力和结点位移间的关系式， 从而得出简单四面体单元的刚度矩阵。

按结点分块表示，此单元刚度矩阵可表示为

k B D B dxdydz B D B dv (7-12) k B D B V (7-13)e T T Ve

e

T

e

k

e

E 1 krs Br D Bs V 36 1 1 2 V A1br c s A2 c r bs A1br d s A2 d r bs br bs A2 cr c s d r d s Ac b A b c c r c s A2 br bs d r d s A1c r d s A2 d r c s 1 r s 2 r s A1d r bs A2 br d s A1 d r c s A2 c r d s d r d s A2 br bs c r c s T e

其中任一子矩阵为

k ii k ji k mi k ni

k ij k jj k mj k nj

k im k jm k mm k nm

k in k jn k mn k nn

(7-14)

第7章 空间问题的有限单元法(r=i、j、m、n, S=i、j、m、n )

其中

A1

1

A2

1 2 2 1

(7-15)

弹性体三维(空间)问题的原始平衡方程组，即 其中

K P K k ee 1 ne

7.3.3 整体结构载荷列向量整体结构的结点载荷列向量

P P P ep P eq P eg P eR ne e ne

式中

P ep ——单元上集中力等效结点载荷列向量； P eq ——单元上表面力等效结点载荷列向量； P eg ——单元上体积力等效结点载荷列向量； P eR ——单元结点载荷列向量。

e 1

e 1

(7-17)

常应变四面体单元

u( x , y , z ) 1 2 x 3 y 4 z v( x, y, z ) 5 6 x 7 y 8 z w ( x , y , z ) 9 10 x 11 y 12 z

① 位移函数包含了坐标的一次完全多项式，且在单元间公共边上位移连续，满足收敛准则。

② 常应变四面体单元对边界拟合能力强，但精度较差。

体积坐标一、体积坐标定义

m z P i j y x k

V

e

—四面体ijkm的体积

任意一点P(x,y,z)V1 —四面体Pjkm的体积 V2 —四面体kmiP的体积

V3 —四面体Pmij的体积 V4 —四面体ijkP的体积P(Li, Lj , Lk , Lm )

V1 Li e V V2 Lj e V V3 Lk e V V4 Lm e V

P点的体 积坐标

体积坐标一、体积坐标定义体积坐标的特点： ①一点的四个体积坐标是 线性相关的V1 V2 V3 V4 V ex

m z P i j y k

Li Lj Lk Lm 1

② 0 Li 1 (i, j, m, k) 当Li为常数时，表示 Vijmk 内平行于jkm面的面。

③在四个结点上

1 Li (Pk )

ik 0

i k i k