大学物理

§2 - 5傅里叶光学 光学

信息处理

光学与电通讯和电信息理论相互结合，逐渐形成了傅里叶光学。傅里叶光学的数学基础是傅里叶变换，它的物理基础是光的衍射理论。

一、空间频率和复振幅

设一维简谐波以相速度u沿x轴正方向传播，

(x,t) Acos( t kx 0)

简谐振动的时间周期性：

大学物理

时间周期T 时间频率 时间角频率

简谐波还具有空间周期性 ？

波速u：（单位时间内振动状态的传播距离称为波速，相速） 40) u

T

(2. 2

大学物理

空间周期性：

空间周期：波长 （表示振动在一个周

期T内所传播的距离，两个相邻的振动相位相同的点之间距离。）

空间频率：1/ 空间角频率：波数2π/

大学物理

若两个单色波沿其传播方向有不

同的空间频率，意味着它们有不同的波长。

时间周期性和空间周期性的联系（对单色光）：

＝uT

沿空间任意k方向传播的单色平面波，复振幅

ik r

E0(r) A0e

A0e

ik(xcos ycos zcos )

其中 , 和 为传播矢量k的方位角。在多数情况下，若不考虑光波随时间的变化，可以只用复振幅表示光波以简化计算。

大学物理

二、空间频率概念的推广（二维） 通常，要处理一个二维的复振幅分布或光强分布，如分析平面上的衍射花样，这时要推广空间频率。

沿k方向传播的单色平面波,z z0平面的复振幅分布为

大学物理

ikz0cos ik(xcos ycos E0(x,y) A0ee

（2－41）

对于沿一定方向传播的平面波，e常数，则

ik(xcos ycos ) E0(x,y) Ae

ikz0cos

＝

（2－42） where A A0e

ikz0cos

=复常数

so, x, y平面上各点复振幅的差别 from 不同的（x, y）处有不同的位相差

大学物理

x y平面上的相位分布？

K方向传播的平面波的波面如上图示，

z z0平面与任一波面的交线（虚）上，各

点的位相＝该波面的位相值；

交线族 ＝ 等位相线族，其方程为

2

(xcos ycos ) const

（2－43）

故，z z0平面上复振幅分布的特点：

等位相线是一组平行线, 呈周期分布（周期为2 ）。

大学物理

若波矢K在xz平面内，单色平面波沿xz平面的直线传播，则方向余弦

co s 0

xcos const等位相线化为

x const

这时，xy平面的等位相线＝垂直于x轴的平行线族

大学物理

第一图：位相依次差2π的几个波面与xz平面的交线

第二图：在xy平面上位相依次差2π的等位

相线族：等间距平行线，其上光振动相同，

复振幅在xy平面上变化的空间周期＝dx（位相差2π的等位线间距） 等位相线族可写为

kxco s

co nst

求微分得（位相差 对应两平行线

沿x方向的距离）

o s x /kc

大学物理

2 dx

kcos cos

（2－44）

（令x方向上单位长度内的变化周期数为）复振幅的空间频率 （2－45）

y方向上的空间周期和空间频率：

u 1/dx

co s

dy

（2－46）

cos

，

v

cos

x y平面上复振幅的周期分布（用一组空间频率表为）

大学物理

(x,y E)0

i 2u(x

Ae

v

y

是一个在x y平面上沿x、 y方向分别以空间频率（u, v）作周期变化的周期函数分布，也表示一个传播方向为（cos u , cos v ）的平面波。

空间频率（u, v）的物理意义：用来描述平面波光场中平面上复振幅的基本周期分布的特征量。每一组（u, v）的值对应一组空间频率的成分，也对应一个沿一定方向传播的平面波。据光波叠加原理，如果光场中某一平面上的复振幅可以分解成许多这样的周期分布，而每一种基本的周期成分由一组周期频率值来表示，则可以说这平面上的复振幅含有多种空间频率成分，并表示有

大学物理

许多沿不同方向传播的平面波通过这一平面。

三 阿贝成象原理

由几何光学，物象成点点对应关系：

1873年，阿贝在显微镜成象原理的论述中，首次提出了空间频率和空间频谱以及两次衍射成象的概念，并用傅里叶变换来阐明显微镜成象的物理机制。1906年，波特用实

大学物理

验证实了阿贝成象原理。 （一）实验介绍

物: 以透光率为a bcos(2 用单色平行相干光照射;

象: 在透镜L2后方一定位置的屏幕E上将得到模板。

可证: 在透镜L2的象方焦面上放一屏幕F2'，则在F2'上将得到由三个亮斑组成的夫琅禾费衍射图样。

fxx)的模板(正弦光 栅),置于凸透镜L前某处，

2

图2 - 22 正弦光栅的象及衍射图样

大学物理

图2- 23 正交光栅的象及衍射图样

用两个黑白光栅互相垂直重叠成一正交光栅，放在L2的物平面上，则在F2'上的衍射图样将是图2 - 23所示的规则排列的许多亮点。

如果在L2的象方焦面上不再放置屏幕，而是插入一狭缝只让中间竖直的一列亮点通过，档住其他亮点，则正交光栅的象的竖直条纹消失，只剩下象的水平条纹；如果把狭缝转过90 ，让水平的一行亮点通过，则正交光栅的象的水平条纹消失，只剩下象的竖直条纹。

大学物理

（二）成象原理

成象过程 ＝ （入射光经物面衍射后在透镜的）象方焦平面上形成夫琅禾费衍射图样

＋衍射图样所发出的子波

在透镜的象平面上相干叠加

（第二次衍射） ＝ 二次衍射成象

衍射图样与物的空间结构之间有着某种内在的联系（因不同物的夫琅禾费衍射图样不同）

1、象方焦面上的夫琅禾费衍射图样的成因？

例1、正弦光栅的透光率（透光率函数：

大学物理

透过光栅后的复振幅与入射在全息图前表面上的复振幅之比）为

t(x) a bcos(2 fxx) 它是空间变量x的周期函数，

空间频率：fx，在单位长度上透光率重复的次数。

空间周期：1/fx

常数项a: 可看成是周期为无穷大的周期函数，只是它的空间频率为零。

1i2

cos(2 fxx) (e

2

fxx

e

i2 fxx

)

,

其中，每一指数项代表一单色平面波，它在透镜的象方焦面上会聚成一点，从正弦光栅输出的是三列波，空间频率为0及 fx。它