第八章 立体的投影及直线 平面与立体相交

平面立体

棱柱

棱锥

表面均为平面构成的立体称为平面立体， 表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面 立体上相邻两表面的交线称为棱线。 立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立 体有棱柱、棱锥和棱台等。 体有棱柱、棱锥和棱台等。

一、 棱 柱

1、 棱柱的投影

2、 棱柱表面上取点

a′( b′ )

(a″) b″

b a5

二、 棱 锥

1、 棱锥的投影 、 s′ s″

S

b’ b s

a’

c’ c b”(c”)

a”

B A

C

a

2、 棱锥表面上取点 、 s′ s″ 2″ 2′ r′ b′ b r s 1 2 a 1′ (3′) a′ 3 c′ c 3″ b″(c″) 1″ a″

平面与平面立体相交

由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平面多边 由于平面立体是由平面围成的 截交线是封闭的平面多边 多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。 形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交线。求截交线的 问题可以简化为求平面与平面的交线问题， 问题可以简化为求平面与平面的交线问题，进而简化为求直线 与平面交点的问题。 与平面交点的问题。

例 求带切口三棱锥的投影s' s"

4'

4"

解题步骤 1 分析 截交线的正 面投影已知， 面投影已知 ， 水平投 影和侧面投影未知； 影和侧面投影未知；

1'a'

2' 3'b'c' c c"

3"y

1"a" y

2"

2 求出截交线上的折 点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ b" ; 3 顺次地连接各点， 顺次地连接各点， 作出截交线， 作出截交线 ， 并且判 别可见性； 别可见性；

3y

整理轮廓线。 4 整理轮廓线。

a

1 4

s y

2b

平面与曲面立体相交

曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线， 曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和 直线所围成的平面图形或多边形。 直线所围成的平面图形或多边形。

一、 平面与圆柱相交

截平面平行于轴线， 截平面平行于轴线， 交线为平行于轴线的 两条平行直线

截平面垂直于轴线， 截平面垂直于轴线， 交线为 圆

截平面倾斜于轴线， 截平面倾斜于轴线， 交线为 椭圆

平面与圆柱的截交线

两条平行直线

垂直于轴线的圆

椭 圆

作图步骤： 作图步骤： 根据截平面位置与曲面立体表面的性质、 (1)根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 截交线的形状和性质。 求出截交线上的特殊点。 (2)求出截交线上的特殊点。 根据需要求出若干个一般点。 (3)根据需要求出若干个一般点。 光滑且顺次地连接各点，作出截交线， (4)光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 别可见性。 最后， (5)最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦

除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点， 分曲线可见与不可见部分的分界点。 分曲线可见与不可见部分的分界点。 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。

例

求切口圆柱的水平投影和侧面投影。 求切口圆柱的水平投影和侧面投影。解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭 侧面投影为圆； 圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点 Ⅰ 、 求出截交线上的特殊点Ⅰ Ⅳ、 Ⅴ、 Ⅷ; 3 求出若干个一般点 Ⅱ 、 Ⅲ 、 求出若干个一般点Ⅱ Ⅵ、Ⅶ; 4 光滑且顺次地连接各点 ， 作 光滑且顺次地连接各点， 出截交线，并且判别可见性； 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。 整理轮廓线。

二、 平面与圆锥相交

圆

两条相交直线

椭圆

抛物线

双曲线