考点29 离散型随机变量及其分布列、

二项分布及其应用、离散型随机变量的均值与方差

1．（2018·海南宁夏高考·理科T6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ）

（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400

【命题立意】本题主要考查了二项分布的期望的公式.

【思路点拨】通过题意得出补种的种子数服从二项分布.

【规范解答】选Ｂ.由题意可知，补种的种子数记为X 服从二项分布，即(1000,0.2)X B ，所以X 的数学期望10000.2200EX =⨯=.

2．（2018·山东高考理科·Ｔ5）已知随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ,若P(>2)=0.023ξ,则P(-22)=ξ≤≤（ ）

(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977

【命题立意】本题考查正态分布的基础知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.

【思路点拨】先由ξ服从正态分布2N(0,)σ得出正态曲线关于直线x=0对称,于是得到

(2)P ζ>与(2)P ζ<-的关系，最后进行求解.

【规范解答】 选C ，因为随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ,所以正态曲线关于直线x=0对称,又P(>2)=0.023ξ,所以P(<-2)=0.023ξ,所以P(-22)=ξ≤≤1-P(>2)-P(<-2)=ξξ1-20.023=⨯0.954, 故选C.

3．（2018·江苏高考·Ｔ22）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

【命题立意】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。

【思路点拨】利用独立事件的概率公式求解。

【规范解答】（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且

P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18，

P （X=2）=0.8×0.1=0.18， P （X=-3）=0.2×0.1=0.18。

由此得X 的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。

由题设知4(4)10n n --≥，解得145

n ≥

， 又n N ∈，得3n =，或4n =。 所求概率为33440.80.20.80.8192P C =⨯⨯+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

4．（2018·安徽高考理科·Ｔ21）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。现设4n =，分别以1234,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令12341234X a a a a =-+-+-+-，

则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。

(Ⅰ)写出X 的可能值集合；

(Ⅱ)假设1234,,,a a a a 等可能地为1,2,3,4的各种排列，求X 的分布列；

(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有2X ≤，

(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；

(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

【命题立意】本题主要考查离散型随机变量及其分布列，考查考生的计数能力，抽象概括能力，概率思想在生活中的应用意识和创新意识。

【思路点拨】用列表或树形图表示1,2,3,4的排列的所有可能情况，计算每一种排列下的x 值， 即可得出其分布列及相关事件的概率。

【规范解答】（I ）x 的可能值的集合为}{0,2,4,6,8

（II ）1,2,3,4的排列共24种，在等可能的假定下，计算每种排列下的x 值，得到

（III ）（i ）(2)(0)(2),6

p x p x p x ≤==+== 2,x p ≤将三轮测试都有的概率记作由独立性假设可得： 1111666216

p =⨯⨯= （ii ）由于152161000

p =<是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有2x ≤的结果的可能性很小，所以可以认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测。

5．（2018·浙江高考理科·Ｔ19）如图，一个小球从M 处投入，通过管道

自上而下落A 或B 或C 。已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能

性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到

A ，

B ，

C ，则分别设为l ，2，3等奖．

（I ）已知获得l ，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变

量ξ为获得k (k =1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望ξE ；

(II)若有3人次(投入l 球为l 人次)参加促销活动，记随机变量η为获得

1等奖或2等奖的人次，求)2(=ηP ．

【命题立意】本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、

二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。

【思路点拨】（1）求分布列时，要先找出从M 出发到相应的位置有几种路，

然后再用独立事件的乘法公式。

如从M 到A 有两种路，所以34113()()()2216P A =+=

；（2）第（II ）是一个二项分布。 【规范解答】 (Ⅰ)由题意得ξ的分布列为

则Εξ=16×50％+8×70％+1690％=4. （Ⅱ）由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为

316+38=916

. 由题意得η～（3，916）则P （η=2）=23C (916)2(1-916)=17014096. 【方法技巧】1、独立事件的概率满足乘法公式，互斥事件的概率满足的加法公式；

2、n 次独立重复试验是一个很重要的试验，要注意在实际问题中的应用。

6．（2018·北京高考理科·Ｔ１7）某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45

，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p ＞q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；

(Ⅱ)求p ，q 的值；

(Ⅲ)求数学期望E ξ。

【命题立意】本题考查了对立事件、独立事件的概率，及期望的求法。

【思路点拨】（1）“至少”问题一般用对立事件求概率方便。（2）利用独立事件分别求出0,3ξ=时的概率，联立方程解出,p q 的值。（3）求出,a d ，代入期望公式即可。

【规范解答】事件i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i =1,2,3，由题意知

14()5

P A =，2()P A p =，3()P A q = （I ）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“0ξ=”是对立的，所以该生至少有1

门课程取得优秀成绩的概率是 61191(0)1125125

P ξ-==-

=， （II ）由题意知 12316(0)()(1)(1)5125

P P A A A p q ξ===--= 123424(3)()5125

P P A A A pq ξ==== 整理得 625

pq =，1p q += 由p q >，可得35p =，25q =. （III ）由题意知123123123(1)()()()a P P A A A P A A A P A A A ξ===++

=432132132(1)(1)(1)(1)555555555⨯-⨯-+⨯⨯-+⨯-⨯

37125

= (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-= =637241125125125---=58125

()0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+⨯=+⨯=